与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$、ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$に対して、以下の問題を解きます。 (1) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を掃き出し法で解く。 (2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。 (3) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$、ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$に対して、以下の問題を解きます。

(1) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を掃き出し法で解く。

(2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。

(3) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

2. 解き方の手順

(1) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を掃き出し法で解く。

拡大行列 $[A | \vec{b}]$ は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 2 \\ -1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & 4 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$

1行目に1行目を足し、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 2 \\ 0 & 2 & 2 & | & 3 \\ 0 & 3 & 0 & | & -2 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & 3/2 \\ 0 & 3 & 0 & | & -2 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & 3/2 \\ 0 & 0 & -3 & | & -13/2 \end{pmatrix}$

3行目を-1/3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & 3/2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 13/6 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引き、1行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & -9/2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 13/6 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -23/6 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 13/6 \end{pmatrix}$

よって、$x = -23/6, y = -2/3, z = 13/6$ となります。

(2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。

$[A | I]$ は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に1行目を足し、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & | & -5/2 & -3/2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-1/3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5/6 & 1/2 & -1/3 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引き、1行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & -3/2 & -3/2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5/6 & 1/2 & -1/3 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -7/6 & -3/2 & 2/3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5/6 & 1/2 & -1/3 \end{pmatrix}$

よって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -7/6 & -3/2 & 2/3 \\ -1/3 & 0 & 1/3 \\ 5/6 & 1/2 & -1/3 \end{pmatrix}$ となります。

(3) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

$\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ より、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/6 & -3/2 & 2/3 \\ -1/3 & 0 & 1/3 \\ 5/6 & 1/2 & -1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/3 - 3/2 \\ -2/3 \\ 5/3 + 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -23/6 \\ -2/3 \\ 13/6 \end{pmatrix}$

よって、$x = -23/6, y = -2/3, z = 13/6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = -23/6, y = -2/3, z = 13/6$

(2) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -7/6 & -3/2 & 2/3 \\ -1/3 & 0 & 1/3 \\ 5/6 & 1/2 & -1/3 \end{pmatrix}$

(3) $x = -23/6, y = -2/3, z = 13/6$