2次不等式 $ax^2 + 2x + a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 2x + a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、2次不等式が常に負になる条件を考える問題です。

まず、$a=0$ の場合を考えます。

$a=0$ のとき、不等式は $2x < 0$ となり、$x < 0$ が解となります。しかし、問題文では「すべての実数」が解であるとされているので、$a=0$ は不適です。

次に、$a \neq 0$ の場合を考えます。

2次不等式 $ax^2 + 2x + a < 0$ の解がすべての実数であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(1) $a < 0$ (上に凸の放物線である必要がある)

(2) 判別式 $D < 0$ (放物線がx軸と交わらない)

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で求められます。この問題の場合、$a=a, b=2, c=a$ であるので、

$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot a = 4 - 4a^2$ となります。

したがって、$D < 0$ は、$4 - 4a^2 < 0$ となります。

この不等式を解くと、

$4 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 4$

$a^2 > 1$

$a < -1$ または $a > 1$ となります。

条件(1) $a < 0$ と、条件(2) $a < -1$ または $a > 1$ を両方満たす必要があるため、$a < -1$ が求める範囲となります。

3. 最終的な答え

$a < -1$