問題は、二次不等式 $x^2 - 2x + m \geq 0$ が、与えられた範囲で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。3つの場合、(ア) $-2 \leq x \leq 0$、(イ) $0 \leq x \leq 3$、(ウ) $x \geq 3$ について、$m$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題は、二次不等式 $x^2 - 2x + m \geq 0$ が、与えられた範囲で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。3つの場合、(ア) $-2 \leq x \leq 0$、(イ) $0 \leq x \leq 3$、(ウ) $x \geq 3$ について、$m$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) $-2 \leq x \leq 0$ の場合:

二次式を平方完成します。

$x^2 - 2x + m = (x-1)^2 + m - 1$

$f(x) = x^2 - 2x + m$ とします。

$f(x)$ は $x=1$ を軸とする下に凸の放物線です。範囲 $-2 \leq x \leq 0$ では、$x=0$または$x=-2$で最大値を取ります。

$f(0) = 0^2 - 2(0) + m = m$

$f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + m = 4 + 4 + m = 8 + m$

$-2 \leq x \leq 0$ の範囲で $f(x) \geq 0$ となるためには、$f(0) \geq 0$ かつ $f(-2) \geq 0$ である必要があります。

つまり、$m \geq 0$ かつ $8 + m \geq 0$ です。$m \geq -8$ より、$m \geq 0$ が必要です。

(イ) $0 \leq x \leq 3$ の場合:

$f(x) = x^2 - 2x + m = (x-1)^2 + m - 1$

範囲 $0 \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最小値は、$x=1$ で発生します。最小値は $f(1) = (1-1)^2 + m - 1 = m - 1$ です。

$0 \leq x \leq 3$ の範囲で $f(x) \geq 0$ となるためには、$f(1) \geq 0$ である必要があります。

つまり、$m - 1 \geq 0$ なので、$m \geq 1$ です。

(ウ) $x \geq 3$ の場合:

$f(x) = x^2 - 2x + m = (x-1)^2 + m - 1$

$x \geq 3$ の範囲では、$f(x)$ は増加関数です。したがって、$x=3$ で最小値を取ります。

$f(3) = (3-1)^2 + m - 1 = 4 + m - 1 = m + 3$

$x \geq 3$ の範囲で $f(x) \geq 0$ となるためには、$f(3) \geq 0$ である必要があります。

つまり、$m + 3 \geq 0$ なので、$m \geq -3$ です。

3. 最終的な答え

(ア) $m \geq 0$

(イ) $m \geq 1$

(ウ) $m \geq -3$