与えられた3つの行列の固有値をそれぞれ求めます。 (1) $\begin{bmatrix} a & -b \\ -b & a \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の固有値をそれぞれ求めます。

(1) $\begin{bmatrix} a & -b \\ -b & a \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ は、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ の解として求められます。ここで、$I$ は単位行列です。

(1)

$A = \begin{bmatrix} a & -b \\ -b & a \end{bmatrix}$ の場合、

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} a-\lambda & -b \\ -b & a-\lambda \end{bmatrix}$

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (a-\lambda)^2 - (-b)^2 = (a-\lambda)^2 - b^2 = 0$

$(a-\lambda)^2 = b^2$

$a-\lambda = \pm b$

$\lambda = a \pm b$

(2)

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ の場合、

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{bmatrix}$

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(3-\lambda)(2-\lambda) - (3-\lambda) = (3-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (3-\lambda)(4 - 4\lambda + \lambda^2 - 1) = (3-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = (3-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-1) = -(\lambda-3)^2(\lambda-1) = 0$

$\lambda = 1, 3$ (3は重解)

(3)

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の場合、

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}$

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)((1-\lambda)^2 - 1) - 1(1-\lambda) = (1-\lambda)(1-2\lambda+\lambda^2 -1) - (1-\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda) - (1-\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 1) = 0$

$\lambda = 1$ または $\lambda^2 - 2\lambda - 1 = 0$

$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$\lambda = 1, 1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\lambda = a+b, a-b$

(2) $\lambda = 1, 3$

(3) $\lambda = 1, 1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$