与えられた一次関数のグラフを、定義域に基づいて描き、yの変域を求める問題です。全部で6問あります。

1. 問題の内容

与えられた一次関数のグラフを、定義域に基づいて描き、yの変域を求める問題です。全部で6問あります。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{2}x - 3$, $-4 < x < -1$

* $x=-4$のとき、$y=\frac{1}{2}(-4)-3=-2-3=-5$

* $x=-1$のとき、$y=\frac{1}{2}(-1)-3=-\frac{1}{2}-3=-\frac{7}{2}=-3.5$

よって、グラフは点$(-4, -5)$と点$(-1, -3.5)$を結ぶ線分で、$x$の範囲が不等号に=が含まれていないため、両端の点は含みません。

したがって、$y$の変域は$-5 < y < -3.5$となります。

(2) $y = -\frac{3}{4}x + 4$, $-4 \le x < 4$

* $x=-4$のとき、$y=-\frac{3}{4}(-4)+4=3+4=7$

* $x=4$のとき、$y=-\frac{3}{4}(4)+4=-3+4=1$

よって、グラフは点$(-4, 7)$と点$(4, 1)$を結ぶ線分で、$x=-4$を含み、$x=4$を含みません。

したがって、$y$の変域は$1 < y \le 7$となります。

(3) $y = \frac{2}{3}x + 1$, $1 < x \le 6$

* $x=1$のとき、$y=\frac{2}{3}(1)+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$

* $x=6$のとき、$y=\frac{2}{3}(6)+1=4+1=5$

よって、グラフは点$(1, \frac{5}{3})$と点$(6, 5)$を結ぶ線分で、$x=1$を含まず、$x=6$を含みます。

したがって、$y$の変域は$\frac{5}{3} < y \le 5$となります。

(4) $y = -\frac{5}{3}x - 5$, $-6 < x \le 3$

* $x=-6$のとき、$y=-\frac{5}{3}(-6)-5=10-5=5$

* $x=3$のとき、$y=-\frac{5}{3}(3)-5=-5-5=-10$

よって、グラフは点$(-6, 5)$と点$(3, -10)$を結ぶ線分で、$x=-6$を含まず、$x=3$を含みます。

したがって、$y$の変域は$-10 \le y < 5$となります。

(5) $y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4}$, $-5 < x < 2$

* $x=-5$のとき、$y=-\frac{1}{4}(-5)-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=-0.5$

* $x=2$のとき、$y=-\frac{1}{4}(2)-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}=-1.25$

よって、グラフは点$(-5, -0.5)$と点$(2, -1.25)$を結ぶ線分で、$x=-5$と$x=2$を含みません。

したがって、$y$の変域は$-1.25 < y < -0.5$となります。

つまり、$-\frac{5}{4} < y < \frac{1}{2}$となります。

(6) $y = x + 2$, $-2 \le x \le 3$

* $x=-2$のとき、$y=-2+2=0$

* $x=3$のとき、$y=3+2=5$

よって、グラフは点$(-2, 0)$と点$(3, 5)$を結ぶ線分で、$x=-2$と$x=3$を含みます。

したがって、$y$の変域は$0 \le y \le 5$となります。

3. 最終的な答え

(1) $-5 < y < -3.5$

(2) $1 < y \le 7$

(3) $\frac{5}{3} < y \le 5$

(4) $-10 \le y < 5$

(5) $-\frac{5}{4} < y < \frac{1}{2}$

(6) $0 \le y \le 5$