与えられた連立一次方程式を消去法を用いて解く問題です。問題は(1)と(2)の二つあります。 (1) $4x - 2y - 3z = 1$ $3x - 2y - z = -3$ $3x - y - 4z = 5$ (2) $x - 2y - 3z = -1$ $x + y + 3z = 2$ $x + 3y + 7z = 4$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を消去法を用いて解く問題です。問題は(1)と(2)の二つあります。

(1)

$4x - 2y - 3z = 1$

$3x - 2y - z = -3$

$3x - y - 4z = 5$

(2)

$x - 2y - 3z = -1$

$x + y + 3z = 2$

$x + 3y + 7z = 4$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一つ目の式から二つ目の式を引きます。

$(4x - 2y - 3z) - (3x - 2y - z) = 1 - (-3)$

$x - 2z = 4$ ...(A)

次に、二つ目の式から三つ目の式を引きます。

$(3x - 2y - z) - (3x - y - 4z) = -3 - 5$

$-y + 3z = -8$

$y = 3z + 8$ ...(B)

(B)を一つ目の式に代入します。

$4x - 2(3z + 8) - 3z = 1$

$4x - 6z - 16 - 3z = 1$

$4x - 9z = 17$ ...(C)

(A)より$x = 2z + 4$なので、これを(C)に代入します。

$4(2z + 4) - 9z = 17$

$8z + 16 - 9z = 17$

$-z = 1$

$z = -1$

$z = -1$を(A)に代入すると$x - 2(-1) = 4$なので、$x = 2$

$z = -1$を(B)に代入すると$y = 3(-1) + 8$なので、$y = 5$

(2)

一つ目の式から二つ目の式を引きます。

$(x - 2y - 3z) - (x + y + 3z) = -1 - 2$

$-3y - 6z = -3$

$y + 2z = 1$

$y = 1 - 2z$ ...(D)

一つ目の式から三つ目の式を引きます。

$(x - 2y - 3z) - (x + 3y + 7z) = -1 - 4$

$-5y - 10z = -5$

$y + 2z = 1$

$y = 1 - 2z$ ...(E)

(D)または(E)を二つ目の式に代入します。

$x + (1 - 2z) + 3z = 2$

$x + 1 + z = 2$

$x + z = 1$

$x = 1 - z$

$y = 1 - 2z$と$x = 1 - z$を三つ目の式に代入します。

$(1-z) + 3(1 - 2z) + 7z = 4$

$1 - z + 3 - 6z + 7z = 4$

$4 = 4$

これは、方程式が不定であることを示しています。つまり、zの値が任意の値を取ることができ、xとyはそのzの値に応じて決まるということです。

ここでは、$z = k$とおき、$x$と$y$を$k$で表します。

$x = 1 - k$

$y = 1 - 2k$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 2$, $y = 5$, $z = -1$

(2)

$x = 1 - k$, $y = 1 - 2k$, $z = k$ (kは任意の実数)