与えられた3x3行列の余因子行列を求め、それを用いて逆行列を求める。与えられた行列は、 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ である。

## 問題(1)

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の余因子行列を求め、それを用いて逆行列を求める。与えられた行列は、

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

である。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列を計算する。余因子$C_{ij}$は、行列Aから$i$行と$j$列を取り除いた行列の行列式に$(-1)^{i+j}$をかけたものである。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(-1) = 3 - 1 = 2$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(4(3) - (-1)(2)) = -(12 + 2) = -14$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (1)(2) = -4 - 2 = -6$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -((-2)(3) - (2)(-1)) = -(-6 + 2) = -(-4) = 4$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -((1)(-1) - (-2)(2)) = -(-1 + 4) = -3$

$C_{31} = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (2)(1) = 2 - 2 = 0$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -((1)(-1) - (2)(4)) = -(-1 - 8) = -(-9) = 9$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (-2)(4) = 1 + 8 = 9$

したがって、余因子行列は、

$C = \begin{bmatrix} 2 & -14 & -6 \\ 4 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}$

余因子行列の転置行列（随伴行列）は、

$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -14 & -1 & 9 \\ -6 & -3 & 9 \end{bmatrix}$

(2) 行列式を計算する。

$det(A) = 1(1\cdot3 - (-1)(-1)) - (-2)(4\cdot3 - (-1)(2)) + 2(4\cdot(-1) - 1\cdot2) = 1(3-1) + 2(12+2) + 2(-4-2) = 2 + 2(14) + 2(-6) = 2 + 28 - 12 = 18$

(3) 逆行列を計算する。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{18} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -14 & -1 & 9 \\ -6 & -3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/9 & 2/9 & 0 \\ -7/9 & -1/18 & 1/2 \\ -1/3 & -1/6 & 1/2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

余因子行列は

$\begin{bmatrix} 2 & -14 & -6 \\ 4 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}$

逆行列は

$\begin{bmatrix} 1/9 & 2/9 & 0 \\ -7/9 & -1/18 & 1/2 \\ -1/3 & -1/6 & 1/2 \end{bmatrix}$