実数全体の集合を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A, B$ が以下のように定義されている。 $A = \{x \mid |2x - 5| \le 3\}$ $B = \{x \mid 7x \le 5x + 6 \le 17x\}$ さらに、集合 $C, D, E$ が以下のように定義されている。 $C = \{x \mid 1 \le x \le 3\}$ $D = \{x \mid x < \frac{1}{2} または x > 4\}$ $E = \{x \mid x \le 3 または x > 4\}$ このとき、$C$, $D$, $E$ をそれぞれ $A, B$ を用いて表す。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A, B$ が以下のように定義されている。

$A = \{x \mid |2x - 5| \le 3\}$

$B = \{x \mid 7x \le 5x + 6 \le 17x\}$

さらに、集合 $C, D, E$ が以下のように定義されている。

$C = \{x \mid 1 \le x \le 3\}$

$D = \{x \mid x < \frac{1}{2} または x > 4\}$

$E = \{x \mid x \le 3 または x > 4\}$

このとき、$C$, $D$, $E$ をそれぞれ $A, B$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$A, B$ の範囲を求める。

$A = \{x \mid |2x - 5| \le 3\}$ より、$-3 \le 2x - 5 \le 3$。

各辺に5を足すと、$2 \le 2x \le 8$。

各辺を2で割ると、$1 \le x \le 4$。

よって、$A = \{x \mid 1 \le x \le 4\}$。

$B = \{x \mid 7x \le 5x + 6 \le 17x\}$ より、

$7x \le 5x + 6$ かつ $5x + 6 \le 17x$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$7x \le 5x + 6$ より、$2x \le 6$。

$x \le 3$。

$5x + 6 \le 17x$ より、$6 \le 12x$。

$\frac{1}{2} \le x$。

よって、$B = \{x \mid \frac{1}{2} \le x \le 3\}$。

次に、$A$ と $B$ の補集合を求める。

$\overline{A} = \{x \mid x < 1 または x > 4\}$。

$\overline{B} = \{x \mid x < \frac{1}{2} または x > 3\}$。

$C = \{x \mid 1 \le x \le 3\}$ を $A, B$ で表す。

$A = \{x \mid 1 \le x \le 4\}$ かつ $B = \{x \mid \frac{1}{2} \le x \le 3\}$ なので、

$A \cap B = \{x \mid 1 \le x \le 3\} = C$。

よって、$C = A \cap B$。

$D = \{x \mid x < \frac{1}{2} または x > 4\}$ を $A, B$ で表す。

$A = \{x \mid 1 \le x \le 4\}$ かつ $\overline{B} = \{x \mid x < \frac{1}{2} または x > 3\}$ なので、

$\overline{A} = \{x \mid x < 1 または x > 4\}$

$D = \{x \mid x < \frac{1}{2} または x > 4\} = \overline{B}$。

よって、$D = \overline{B}$。

$E = \{x \mid x \le 3 または x > 4\}$ を $A, B$ で表す。

$A = \{x \mid 1 \le x \le 4\}$ より、$\overline{A} = \{x \mid x < 1 または x > 4\}$。

$B = \{x \mid \frac{1}{2} \le x \le 3\}$

$E = \{x \mid x \le 3 または x > 4\} = \overline{A} \cup B$

よって、$E = \overline{A} \cup B$。

3. 最終的な答え

ア: $A \cap B$

イ: $\overline{B}$

ウ: $\overline{A} \cup B$