与えられたベクトルと行列のノルムを求める問題です。ここで、特に指定がないため、ベクトルに対してはユークリッドノルム（2ノルム）、行列に対しては誘導ノルム（スペクトルノルム）を計算します。

1. 問題の内容

与えられたベクトルと行列のノルムを求める問題です。ここで、特に指定がないため、ベクトルに対してはユークリッドノルム（2ノルム）、行列に対しては誘導ノルム（スペクトルノルム）を計算します。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ のノルムを計算します。

ユークリッドノルムは、各成分の二乗和の平方根で計算されます。

$||x|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ のノルムを計算します。

行列の誘導ノルム（スペクトルノルム）は、行列の最大特異値です。

行列 $A$ の特異値は、$A^T A$ の固有値の平方根です。

$A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 18 \\ 18 & 13 \end{pmatrix}$

固有方程式は $|A^T A - \lambda I| = 0$ より、

$\begin{vmatrix} 25-\lambda & 18 \\ 18 & 13-\lambda \end{vmatrix} = (25-\lambda)(13-\lambda) - 18^2 = 0$

$325 - 25\lambda - 13\lambda + \lambda^2 - 324 = 0$

$\lambda^2 - 38\lambda + 1 = 0$

$\lambda = \frac{38 \pm \sqrt{38^2 - 4}}{2} = \frac{38 \pm \sqrt{1440}}{2} = \frac{38 \pm 12\sqrt{10}}{2} = 19 \pm 6\sqrt{10}$

最大固有値は $19 + 6\sqrt{10} \approx 37.97$

ノルムは $\sqrt{19 + 6\sqrt{10}} \approx \sqrt{37.97} \approx 6.16$

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 24 & 12 \end{pmatrix}$ のノルムを計算します。

$A^T A = \begin{pmatrix} 6 & 24 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 612 & 306 \\ 306 & 153 \end{pmatrix}$

固有方程式は $|A^T A - \lambda I| = 0$ より、

$\begin{vmatrix} 612-\lambda & 306 \\ 306 & 153-\lambda \end{vmatrix} = (612-\lambda)(153-\lambda) - 306^2 = 0$

$93636 - 612\lambda - 153\lambda + \lambda^2 - 93636 = 0$

$\lambda^2 - 765\lambda = 0$

$\lambda(\lambda - 765) = 0$

$\lambda = 0, 765$

最大固有値は 765

ノルムは $\sqrt{765} = \sqrt{9 \cdot 85} = 3\sqrt{85} \approx 27.66$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{19 + 6\sqrt{10}}$

(3) $3\sqrt{85}$