与えられた3次正方行列 $ \begin{pmatrix} 3 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ 10 & 2 & 6 \end{pmatrix} $ の逆行列を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次正方行列

$$

\begin{pmatrix}

3 & 7 & 8 \\

4 & 5 & 9 \\

10 & 2 & 6

\end{pmatrix}

$$

の逆行列を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算します。

$$

\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

3 & 7 & 8 \\

4 & 5 & 9 \\

10 & 2 & 6

\end{pmatrix}

&= 3(5 \cdot 6 - 9 \cdot 2) - 7(4 \cdot 6 - 9 \cdot 10) + 8(4 \cdot 2 - 5 \cdot 10) \\

&= 3(30 - 18) - 7(24 - 90) + 8(8 - 50) \\

&= 3(12) - 7(-66) + 8(-42) \\

&= 36 + 462 - 336 \\

&= 162

\end{aligned}

$$

行列式は162です。次に、余因子行列を求めます。

余因子行列は、各要素の余因子を並べた行列の転置です。

(1,1)成分: $5 \cdot 6 - 9 \cdot 2 = 30 - 18 = 12$

(1,2)成分: $-(4 \cdot 6 - 9 \cdot 10) = -(24 - 90) = 66$

(1,3)成分: $4 \cdot 2 - 5 \cdot 10 = 8 - 50 = -42$

(2,1)成分: $-(7 \cdot 6 - 8 \cdot 2) = -(42 - 16) = -26$

(2,2)成分: $3 \cdot 6 - 8 \cdot 10 = 18 - 80 = -62$

(2,3)成分: $-(3 \cdot 2 - 7 \cdot 10) = -(6 - 70) = 64$

(3,1)成分: $7 \cdot 9 - 8 \cdot 5 = 63 - 40 = 23$

(3,2)成分: $-(3 \cdot 9 - 8 \cdot 4) = -(27 - 32) = 5$

(3,3)成分: $3 \cdot 5 - 7 \cdot 4 = 15 - 28 = -13$

余因子行列は次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

12 & 66 & -42 \\

-26 & -62 & 64 \\

23 & 5 & -13

\end{pmatrix}

$$

逆行列は、余因子行列を転置し、行列式で割ったものです。

$$

\begin{pmatrix}

12 & -26 & 23 \\

66 & -62 & 5 \\

-42 & 64 & -13

\end{pmatrix}

$$

これを162で割ると

$$

\frac{1}{162} \begin{pmatrix}

12 & -26 & 23 \\

66 & -62 & 5 \\

-42 & 64 & -13

\end{pmatrix}

$$

選択肢に一番近いのは4番です。

3. 最終的な答え

4. $\frac{1}{162} \begin{pmatrix} 12 & -26 & 23 \\ 66 & -62 & 5 \\ -42 & 64 & -13 \end{pmatrix}$