$a$ と $b$ は実数であり、$ab > 0$ が成り立つ。このとき、次の 1 から 5 のうち正しいものを一つ選ぶ問題です。 (1) $a < b \implies a^2 < b^2$ (2) $a < b \implies a^2 > b^2$ (3) $a^2 < b^2 \implies a < b$ (4) $a^2 > b^2 \implies a > b$ (5) 上の 1 から 4 はすべて正しくない

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は実数であり、$ab > 0$ が成り立つ。このとき、次の 1 から 5 のうち正しいものを一つ選ぶ問題です。

(1) $a < b \implies a^2 < b^2$

(2) $a < b \implies a^2 > b^2$

(3) $a^2 < b^2 \implies a < b$

(4) $a^2 > b^2 \implies a > b$

(5) 上の 1 から 4 はすべて正しくない

2. 解き方の手順

$ab > 0$ なので、$a$ と $b$ は同符号です。つまり、$a > 0$ かつ $b > 0$、または、$a < 0$ かつ $b < 0$ のいずれかです。

各選択肢について検討します。

(1) $a < b \implies a^2 < b^2$

$a > 0$ かつ $b > 0$ の場合、$a < b$ ならば $a^2 < b^2$ は正しいです。

しかし、$a < 0$ かつ $b < 0$ の場合、$a < b$ ならば $|a| > |b|$ なので、$a^2 > b^2$ となります。

例えば、$a = -2$、$b = -1$ のとき、$a < b$ ですが、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ です。

したがって、(1) は正しくありません。

(2) $a < b \implies a^2 > b^2$

$a > 0$ かつ $b > 0$ の場合、$a < b$ ならば $a^2 < b^2$ なので、(2) は成り立ちません。

$a < 0$ かつ $b < 0$ の場合は(1)の反例で示されている通り、$a<b$ ならば $a^2>b^2$ となります。

しかし、$a=1,b=2$ のとき、$a<b$ かつ $a^2<b^2$ となり、$a,b$ は同符号という条件に反しないため、(2)は正しくありません。

(3) $a^2 < b^2 \implies a < b$

$a = -2$、$b = 1$ のとき、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となります。 $a^2 < b^2$ を仮定する必要があるため、これは反例になりません。

$a=-1, b=2$ のとき, $a^2=1, b^2=4$ なので、$a^2 < b^2$ です。しかし、$a=-1, b=2$ なので、$a < b$が成り立ちます。 $a>0$ かつ $b>0$ または $a<0$ かつ $b<0$という条件を満たしていないので、これは反例になりません。

$a=-2,b=-1$ のとき、$a^2=4,b^2=1$ なので、$a^2>b^2$ です。 $a^2<b^2$を仮定する必要があるため、これは反例になりません。

$a=1,b=2$ のとき、$a^2=1,b^2=4$ なので、$a^2<b^2$ です。このとき、$a<b$ が成り立ちます。

$a=-2,b=-1$ のとき、$a^2=4,b^2=1$ なので、$a^2>b^2$。$a^2<b^2$を仮定する必要があるため、これは反例になりません。

例えば、$a = -1$、$b = 2$ のとき、$a^2 = 1$、$b^2 = 4$ なので、$a^2 < b^2$ ですが、$a < b$ です。これは、$ab>0$ を満たさないので反例になりません。

$a>0,b>0$ のとき $a^2<b^2$ ならば $a<b$です。$a<0, b<0$ のとき $a^2<b^2$ ならば $|a|<|b|$ ですから、 $b<a$ となります。

$a = -2, b = -1$のとき、$ab = 2 > 0$ です。 $a^2 = 4, b^2 = 1$なので、$a^2 > b^2$ です。

しかし、$a < b$ なので、$a^2 < b^2 \implies a < b$ は成り立ちません。

(4) $a^2 > b^2 \implies a > b$

$a=2$、$b=1$ のとき、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$なので、$a^2 > b^2$ であり、$a > b$ です。

$a=-1$、$b=-2$のとき、$ab = 2 > 0$で、 $a^2=1, b^2 = 4$なので、$a^2 < b^2$ となります。

$a=-2, b=-1$のとき、$ab = 2 > 0$で、 $a^2=4, b^2 = 1$なので、$a^2 > b^2$ となります。$a=-2,b=-1$ なので、$a<b$となり、$a^2>b^2 \implies a>b$は成り立ちません。

(5) 上の 1 から 4 はすべて正しくない

上記より、(1)から(4)はすべて正しくないので、(5)が答えになります。

3. 最終的な答え

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