n次正方行列 $A$ が $A^t A = E$ を満たすとき、行列式 $|A|$ の取りうる値を全て求める問題です。ここで、$A^t$ は $A$ の転置行列、$E$ は単位行列を表します。

1. 問題の内容

n次正方行列 $A$ が $A^t A = E$ を満たすとき、行列式 $|A|$ の取りうる値を全て求める問題です。ここで、$A^t$ は $A$ の転置行列、$E$ は単位行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A^t A = E$ の両辺の行列式を取ります。

$|A^t A| = |E|$

行列式の性質として、$|AB| = |A||B|$ および $|A^t| = |A|$ があります。また、$|E| = 1$ であることを利用します。

$|A^t A| = |A^t| |A| = |A| |A| = |A|^2$

したがって、

$|A|^2 = 1$

この方程式を解くと、

$|A| = \pm 1$

3. 最終的な答え

行列式 $|A|$ の取りうる値は、1と-1です。

答え：1, -1