100円玉、50円玉、10円玉をそれぞれ1枚以上使い、合計540円にする組み合わせが何通りあるかを求める問題です。ただし、使う硬貨の合計枚数は25枚以下という制約があります。

1. 問題の内容

100円玉、50円玉、10円玉をそれぞれ1枚以上使い、合計540円にする組み合わせが何通りあるかを求める問題です。ただし、使う硬貨の合計枚数は25枚以下という制約があります。

2. 解き方の手順

100円玉、50円玉、10円玉の枚数をそれぞれ$x, y, z$とおきます。すると、問題の条件は以下のようになります。

* $100x + 50y + 10z = 540$

* $x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$

* $x + y + z \leq 25$

最初の式を10で割ると、

$10x + 5y + z = 54$

$x, y, z$はそれぞれ1以上なので、$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1$とおくと、$x', y', z' \geq 0$となり、

$10(x'+1) + 5(y'+1) + (z'+1) = 54$

$10x' + 5y' + z' = 54 - 10 - 5 - 1 = 38$

また、$x+y+z \leq 25$より、$x'+1 + y'+1 + z'+1 \leq 25$なので、$x' + y' + z' \leq 22$

$10x' + 5y' + z' = 38$の条件で、$x', y', z' \geq 0$を満たす組み合わせを考えます。

$x'$の取りうる値は$0, 1, 2, 3$です。

* $x' = 0$のとき、$5y' + z' = 38$。$y'$の取りうる値は$0 \leq y' \leq 7$。$z' = 38 - 5y'$。$x'+y'+z' = 0 + y' + 38 - 5y' = 38 - 4y' \leq 22$より、$4y' \geq 16$つまり、$y' \geq 4$。よって、$y'$は$4, 5, 6, 7$の4通り。

* $x' = 1$のとき、$5y' + z' = 28$。$y'$の取りうる値は$0 \leq y' \leq 5$。$z' = 28 - 5y'$。$x'+y'+z' = 1 + y' + 28 - 5y' = 29 - 4y' \leq 22$より、$4y' \geq 7$つまり、$y' \geq 2$。よって、$y'$は$2, 3, 4, 5$の4通り。

* $x' = 2$のとき、$5y' + z' = 18$。$y'$の取りうる値は$0 \leq y' \leq 3$。$z' = 18 - 5y'$。$x'+y'+z' = 2 + y' + 18 - 5y' = 20 - 4y' \leq 22$。これは常に満たされるので、$y'$は$0, 1, 2, 3$の4通り。

* $x' = 3$のとき、$5y' + z' = 8$。$y'$の取りうる値は$0 \leq y' \leq 1$。$z' = 8 - 5y'$。$x'+y'+z' = 3 + y' + 8 - 5y' = 11 - 4y' \leq 22$。これは常に満たされるので、$y'$は$0, 1$の2通り。

したがって、合計で$4 + 4 + 4 + 2 = 14$通りの組み合わせがあります。

3. 最終的な答え

14通り