与えられた関数 $y = f(x)$ に対して、逆関数 $x = f^{-1}(y)$ を求め、横軸を $y$、縦軸を $x$ としたグラフを考える。与えられた関数は以下の3つである。 (1) $y = 2(3^x - 1)$ (2) $y = -\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ (3) $y = \frac{3}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x)$ に対して、逆関数 $x = f^{-1}(y)$ を求め、横軸を $y$、縦軸を $x$ としたグラフを考える。与えられた関数は以下の3つである。

(1) $y = 2(3^x - 1)$

(2) $y = -\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$

(3) $y = \frac{3}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(3^x - 1)$ について

まず、$x$ について解く。

$y = 2(3^x - 1)$

$\frac{y}{2} = 3^x - 1$

$\frac{y}{2} + 1 = 3^x$

$3^x = \frac{y+2}{2}$

両辺の対数をとる（底は3とする）：

$x = \log_3(\frac{y+2}{2})$

よって、$x = f^{-1}(y) = \log_3(\frac{y+2}{2})$

(2) $y = -\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ について

まず、$x$ について解く。

$y = -\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$

$-y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1)$

$(\frac{1}{2})^{-y} = x+1$

$x = (\frac{1}{2})^{-y} - 1$

$x = 2^y - 1$

よって、$x = f^{-1}(y) = 2^y - 1$

(3) $y = \frac{3}{x+1}$ について

まず、$x$ について解く。

$y = \frac{3}{x+1}$

$y(x+1) = 3$

$xy + y = 3$

$xy = 3 - y$

$x = \frac{3-y}{y}$

よって、$x = f^{-1}(y) = \frac{3-y}{y}$

3. 最終的な答え

(1) $x = f^{-1}(y) = \log_3(\frac{y+2}{2})$

(2) $x = f^{-1}(y) = 2^y - 1$

(3) $x = f^{-1}(y) = \frac{3-y}{y}$