与えられた行列の等式 $ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix} $ を満たす正方行列 $X$ を求めます。

代数学行列線形代数逆行列行列式
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた行列の等式
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
-3 & 3 & 5
\end{pmatrix}
X =
\begin{pmatrix}
8 & 7 & 4 \\
4 & 6 & 3 \\
8 & 7 & 4
\end{pmatrix}
を満たす正方行列 XX を求めます。

2. 解き方の手順

まず、左辺の行列を AA、右辺の行列を BB とおきます。すなわち、
A = \begin{pmatrix}
1 & -3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
-3 & 3 & 5
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
8 & 7 & 4 \\
4 & 6 & 3 \\
8 & 7 & 4
\end{pmatrix}
このとき、AX=BAX = B を満たす行列 XX を求める問題となります。
もし、AA が逆行列 A1A^{-1} を持つならば、X=A1BX = A^{-1}B として求めることができます。
AA の逆行列を求めるために、AA の行列式を計算します。
\det(A) = 1(-2\cdot5 - 1\cdot3) - (-3)(1\cdot5 - 1\cdot(-3)) + 3(1\cdot3 - (-2)\cdot(-3)) \\
= 1(-10 - 3) + 3(5 + 3) + 3(3 - 6) \\
= -13 + 3(8) + 3(-3) \\
= -13 + 24 - 9 \\
= 2
det(A)=20\det(A) = 2 \neq 0 なので、AA は逆行列を持ちます。
次に、AA の余因子行列 CC を求めます。
C_{11} = (-2) \cdot 5 - 1 \cdot 3 = -13 \\
C_{12} = -(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) = -8 \\
C_{13} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3) = -3 \\
C_{21} = -((-3) \cdot 5 - 3 \cdot 3) = -(-15 - 9) = 24 \\
C_{22} = 1 \cdot 5 - 3 \cdot (-3) = 5 + 9 = 14 \\
C_{23} = -(1 \cdot 3 - (-3) \cdot (-3)) = -(3 - 9) = 6 \\
C_{31} = (-3) \cdot 1 - 3 \cdot (-2) = -3 + 6 = 3 \\
C_{32} = -(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(1 - 3) = 2 \\
C_{33} = 1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1 = -2 + 3 = 1
余因子行列 CC
C = \begin{pmatrix}
-13 & -8 & -3 \\
24 & 14 & 6 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
AA の逆行列 A1A^{-1} は、A1=1det(A)CTA^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T で与えられます。
A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
-13 & 24 & 3 \\
-8 & 14 & 2 \\
-3 & 6 & 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-\frac{13}{2} & 12 & \frac{3}{2} \\
-4 & 7 & 1 \\
-\frac{3}{2} & 3 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
したがって、X=A1BX = A^{-1}B
X = \begin{pmatrix}
-\frac{13}{2} & 12 & \frac{3}{2} \\
-4 & 7 & 1 \\
-\frac{3}{2} & 3 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
8 & 7 & 4 \\
4 & 6 & 3 \\
8 & 7 & 4
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{13}{2}\cdot 8 + 12\cdot 4 + \frac{3}{2}\cdot 8 & -\frac{13}{2}\cdot 7 + 12\cdot 6 + \frac{3}{2}\cdot 7 & -\frac{13}{2}\cdot 4 + 12\cdot 3 + \frac{3}{2}\cdot 4 \\
-4\cdot 8 + 7\cdot 4 + 1\cdot 8 & -4\cdot 7 + 7\cdot 6 + 1\cdot 7 & -4\cdot 4 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 \\
-\frac{3}{2}\cdot 8 + 3\cdot 4 + \frac{1}{2}\cdot 8 & -\frac{3}{2}\cdot 7 + 3\cdot 6 + \frac{1}{2}\cdot 7 & -\frac{3}{2}\cdot 4 + 3\cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot 4
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-52 + 48 + 12 & -\frac{91}{2} + 72 + \frac{21}{2} & -26 + 36 + 6 \\
-32 + 28 + 8 & -28 + 42 + 7 & -16 + 21 + 4 \\
-12 + 12 + 4 & -\frac{21}{2} + 18 + \frac{7}{2} & -6 + 9 + 2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
8 & 26 & 16 \\
4 & 21 & 9 \\
4 & 11 & 5
\end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X = \begin{pmatrix}
8 & 26 & 16 \\
4 & 21 & 9 \\
4 & 11 & 5
\end{pmatrix}

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