$0 < a < 1$とする。関数 $y=x^2$ と $y=ax^2$ のグラフの $x > 0$ の範囲を考える。グラフ上に4点P, Q, R, Sを取り、PとQは$x$座標が等しく、PとR, QとSはそれぞれ$y$座標が等しくなるようにする。$y=ax^2$ において、$x$ の値が2から4まで増加するときの変化の割合が $\frac{3}{2}$ である。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) $\triangle$PQRが直角二等辺三角形であるとき、 i. 台形PSQRの面積を求めよ。 ii. 直線PSと直線QRの交点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < 1$とする。関数 $y=x^2$ と $y=ax^2$ のグラフの $x > 0$ の範囲を考える。グラフ上に4点P, Q, R, Sを取り、PとQは$x$座標が等しく、PとR, QとSはそれぞれ$y$座標が等しくなるようにする。$y=ax^2$ において、$x$ の値が2から4まで増加するときの変化の割合が $\frac{3}{2}$ である。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) $\triangle$PQRが直角二等辺三角形であるとき、

i. 台形PSQRの面積を求めよ。

ii. 直線PSと直線QRの交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y=ax^2$ において、$x$ が2から4まで増加するときの変化の割合は、

$\frac{a(4^2) - a(2^2)}{4-2} = \frac{16a - 4a}{2} = \frac{12a}{2} = 6a$

これが $\frac{3}{2}$ に等しいので、

$6a = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

(2) $a = \frac{1}{4}$ であるから、$y=\frac{1}{4}x^2$

Pの$x$座標を $t$ とすると、P($t$, $t^2$)

Qの$x$座標は$t$なので、Q($t$, $\frac{1}{4}t^2$)

RはPと$y$座標が等しいので、$\frac{1}{4}x^2 = t^2$ より $x^2 = 4t^2$。$x>0$なので、$x = 2t$

R($2t$, $t^2$)

$\triangle$PQRが直角二等辺三角形なので、PR = PQ

$2t - t = t$

$t^2 - \frac{1}{4}t^2 = \frac{3}{4}t^2$

よって $t = \frac{3}{4}t^2$。$t \ne 0$ なので、$\frac{3}{4}t = 1$

$t = \frac{4}{3}$

P($\frac{4}{3}$, $\frac{16}{9}$), Q($\frac{4}{3}$, $\frac{4}{9}$), R($\frac{8}{3}$, $\frac{16}{9}$), S($\frac{8}{3}$, $\frac{16}{36}$ = $\frac{4}{9}$)

i. 台形PSQRの面積は、$\frac{1}{2}(\frac{16}{9} + \frac{4}{9})(\frac{8}{3}-\frac{4}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{40}{27}$

ii. 直線PSは、P($\frac{4}{3}$, $\frac{16}{9}$), S($\frac{8}{3}$, $\frac{4}{9}$) を通るので、

傾きは、$\frac{\frac{16}{9} - \frac{4}{9}}{\frac{4}{3} - \frac{8}{3}} = \frac{\frac{12}{9}}{-\frac{4}{3}} = \frac{4/3}{-4/3} = -1$

$y - \frac{16}{9} = -1(x - \frac{4}{3})$

$y = -x + \frac{4}{3} + \frac{16}{9} = -x + \frac{12+16}{9} = -x + \frac{28}{9}$

直線QRは、Q($\frac{4}{3}$, $\frac{4}{9}$), R($\frac{8}{3}$, $\frac{16}{9}$) を通るので、

傾きは、$\frac{\frac{16}{9} - \frac{4}{9}}{\frac{8}{3} - \frac{4}{3}} = \frac{\frac{12}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{4/3}{4/3} = 1$

$y - \frac{4}{9} = 1(x - \frac{4}{3})$

$y = x - \frac{4}{3} + \frac{4}{9} = x - \frac{12-4}{9} = x - \frac{8}{9}$

直線PSと直線QRの交点は、

$-x + \frac{28}{9} = x - \frac{8}{9}$

$2x = \frac{28}{9} + \frac{8}{9} = \frac{36}{9} = 4$

$x = 2$

$y = 2 - \frac{8}{9} = \frac{18-8}{9} = \frac{10}{9}$

交点は $(2, \frac{10}{9})$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{4}$

(2) i. 台形PSQRの面積: $\frac{40}{27}$

ii. 直線PSと直線QRの交点の座標: $(2, \frac{10}{9})$