次の2つの問題について、方程式または不等式を解きます。 (1) $||x-4| - 3| = 2$ (2) $|x-7| + |x-8| < 3$

代数学絶対値不等式方程式絶対値方程式絶対値不等式
2025/7/16

1. 問題の内容

次の2つの問題について、方程式または不等式を解きます。
(1) x43=2||x-4| - 3| = 2
(2) x7+x8<3|x-7| + |x-8| < 3

2. 解き方の手順

(1) x43=2||x-4| - 3| = 2 を解く。
まず、絶対値を外すと、
x43=2|x-4| - 3 = 2 または x43=2|x-4| - 3 = -2
それぞれの場合について解く。
場合1: x43=2|x-4| - 3 = 2
x4=5|x-4| = 5
x4=5x-4 = 5 または x4=5x-4 = -5
x=9x = 9 または x=1x = -1
場合2: x43=2|x-4| - 3 = -2
x4=1|x-4| = 1
x4=1x-4 = 1 または x4=1x-4 = -1
x=5x = 5 または x=3x = 3
したがって、(1)の解は、x=1,3,5,9x = -1, 3, 5, 9
(2) x7+x8<3|x-7| + |x-8| < 3 を解く。
xx の範囲を次の3つに分けて考える。
i) x<7x < 7
ii) 7x<87 \le x < 8
iii) x8x \ge 8
i) x<7x < 7 のとき、
(x7)(x8)<3-(x-7) - (x-8) < 3
x+7x+8<3-x + 7 - x + 8 < 3
2x+15<3-2x + 15 < 3
2x<12-2x < -12
2x>122x > 12
x>6x > 6
したがって、6<x<76 < x < 7
ii) 7x<87 \le x < 8 のとき、
(x7)(x8)<3(x-7) - (x-8) < 3
x7x+8<3x - 7 - x + 8 < 3
1<31 < 3
これは常に成り立つので、7x<87 \le x < 8
iii) x8x \ge 8 のとき、
(x7)+(x8)<3(x-7) + (x-8) < 3
x7+x8<3x - 7 + x - 8 < 3
2x15<32x - 15 < 3
2x<182x < 18
x<9x < 9
したがって、8x<98 \le x < 9
i), ii), iii) を合わせると、6<x<96 < x < 9

3. 最終的な答え

(1) x=1,3,5,9x = -1, 3, 5, 9
(2) 6<x<96 < x < 9

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