以下の2つの2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。 (1) $y = x^2 + 4x$ ($ -1 \le x \le 1$) (2) $y = x^2 + 2x - 3$ ($ -3 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

以下の2つの2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。

(1) $y = x^2 + 4x$ ($-1 \le x \le 1$)

(2) $y = x^2 + 2x - 3$ ($-3 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x$ の場合

1. 平方完成します。

$y = (x + 2)^2 - 4$

2. 頂点の座標は$(-2, -4)$です。定義域$-1 \le x \le 1$において、軸$x = -2$は定義域外にあるので、定義域の端で最大値と最小値をとります。

3. $x = -1$のとき、$y = (-1)^2 + 4(-1) = 1 - 4 = -3$

4. $x = 1$のとき、$y = (1)^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5$

5. よって、最大値は$5$ ($x = 1$のとき)、最小値は$-3$ ($x = -1$のとき)です。

(2) $y = x^2 + 2x - 3$の場合

1. 平方完成します。

$y = (x + 1)^2 - 4$

2. 頂点の座標は$(-1, -4)$です。定義域$-3 \le x \le 1$において、軸$x = -1$は定義域内にあります。

3. $x = -1$のとき、$y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

4. $x = -3$のとき、$y = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$

5. $x = 1$のとき、$y = (1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$

6. よって、最大値は$0$ ($x = -3$または$x = 1$のとき)、最小値は$-4$ ($x = -1$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：5 ($x = 1$のとき), 最小値：-3 ($x = -1$のとき)

(2) 最大値：0 ($x = -3$または$x = 1$のとき), 最小値：-4 ($x = -1$のとき)