次の2次式を因数分解せよ。 (1) $x^2 - 2x - 2$ (2) $x^2 - 3x + 4$ (3) $3x^2 + 2x + 1$ (4) $4x^2 - 8x + 1$

1. 問題の内容

次の2次式を因数分解せよ。

(1) $x^2 - 2x - 2$

(2) $x^2 - 3x + 4$

(3) $3x^2 + 2x + 1$

(4) $4x^2 - 8x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x - 2$

これは因数分解できないので、解の公式を使って解を求め、そこから因数分解の形を導きます。

解の公式は、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。この式に$a=1, b=-2, c=-2$を代入すると、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

よって、$x = 1 + \sqrt{3}$と$x = 1 - \sqrt{3}$が解なので、因数分解された形は$(x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3}))$となります。

(2) $x^2 - 3x + 4$

これも因数分解できないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

よって、$x = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}$と$x = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$が解なので、因数分解された形は$(x - (\frac{3 + i\sqrt{7}}{2}))(x - (\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}))$となります。

(3) $3x^2 + 2x + 1$

これも因数分解できないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{-1 \pm i\sqrt{2}}{3}$

よって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}$と$x = \frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}$が解なので、因数分解された形は$3(x - (\frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}))(x - (\frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}))$となります。

(4) $4x^2 - 8x + 1$

これも因数分解できないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$

よって、$x = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$と$x = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$が解なので、因数分解された形は$4(x - (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}))$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3}))$

(2) $(x - (\frac{3 + i\sqrt{7}}{2}))(x - (\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}))$

(3) $3(x - (\frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}))(x - (\frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}))$

(4) $4(x - (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}))(x - (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}))$