4次方程式 $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$ を解きます。

## 問題76 (1)

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

この方程式は、$x^2$ についての2次方程式と見なすことができます。

$y = x^2$ とおくと、方程式は $y^2 - 7y - 18 = 0$ となります。

この2次方程式を解きます。因数分解すると $(y - 9)(y + 2) = 0$ となるので、$y = 9$ または $y = -2$ です。

$y = x^2$ なので、$x^2 = 9$ または $x^2 = -2$ です。

$x^2 = 9$ より、$x = \pm 3$ です。

$x^2 = -2$ より、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$x = 3, -3, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$

## 問題76 (2)

1. 問題の内容

5次方程式 $x^5 + 8x^3 - 9x = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ でくくり出すと $x(x^4 + 8x^2 - 9) = 0$ となります。

よって、$x = 0$ が一つの解です。

次に、$x^4 + 8x^2 - 9 = 0$ を解きます。

$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 8y - 9 = 0$ となります。

この2次方程式を解きます。因数分解すると $(y + 9)(y - 1) = 0$ となるので、$y = -9$ または $y = 1$ です。

$y = x^2$ なので、$x^2 = -9$ または $x^2 = 1$ です。

$x^2 = -9$ より、$x = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$ です。

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$ です。

3. 最終的な答え

$x = 0, 1, -1, 3i, -3i$

## 問題77 (1)

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 4x^2 + 2x - 1 = 0$ を因数定理を用いて解きます。

2. 解き方の手順

因数定理より、方程式を満たす整数解を探します。

$x=1$のとき、$1^3 + 4(1^2) + 2(1) - 1 = 1 + 4 + 2 - 1 = 6 \neq 0$

$x=-1$のとき、$(-1)^3 + 4(-1)^2 + 2(-1) - 1 = -1 + 4 - 2 - 1 = 0$

したがって、$x = -1$ は解であり、$x + 1$ は因数です。

$x^3 + 4x^2 + 2x - 1$ を $x+1$ で割ると、

$x^3 + 4x^2 + 2x - 1 = (x + 1)(x^2 + 3x - 1)$ となります。

次に、$x^2 + 3x - 1 = 0$ を解きます。解の公式より、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -1, \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$

## 問題77 (2)

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$ を因数定理を用いて解きます。

2. 解き方の手順

因数定理より、方程式を満たす整数解を探します。

$x=1$のとき、$2(1)^3 - (1)^2 - 5(1) - 2 = 2 - 1 - 5 - 2 = -6 \neq 0$

$x=-1$のとき、$2(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 2 = -2 - 1 + 5 - 2 = 0$

したがって、$x = -1$ は解であり、$x + 1$ は因数です。

$2x^3 - x^2 - 5x - 2$ を $x+1$ で割ると、

$2x^3 - x^2 - 5x - 2 = (x + 1)(2x^2 - 3x - 2)$ となります。

次に、$2x^2 - 3x - 2 = 0$ を解きます。因数分解すると、

$(2x + 1)(x - 2) = 0$ となるので、$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 2$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, -\frac{1}{2}, 2$