関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -2 であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -2 であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x + c = -(x^2 - 6x) + c = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

したがって、$y = -(x - 3)^2 + 9 + c$ となります。この関数のグラフは、上に凸の放物線で、頂点の座標は $(3, 9 + c)$ です。

定義域は $1 \le x \le 4$ なので、軸 $x=3$ は定義域に含まれています。したがって、頂点で最大値をとります。

最小値を考えます。

$x=1$ のとき、$y = -(1-3)^2 + 9 + c = -4 + 9 + c = 5 + c$

$x=4$ のとき、$y = -(4-3)^2 + 9 + c = -1 + 9 + c = 8 + c$

$5+c < 8+c$ なので、$x=1$ で最小値を取ります。問題文より、最小値は -2 なので、$5+c = -2$ となります。

よって、$c = -7$

次に、最大値を求めます。

$c = -7$ のとき、$y = -(x - 3)^2 + 9 - 7 = -(x - 3)^2 + 2$

頂点の座標は $(3, 2)$ です。定義域 $1 \le x \le 4$ において、頂点 $x = 3$ で最大値をとるので、最大値は 2 です。

3. 最終的な答え

c = -7

最大値 = 2