与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

各行列式について、以下のように計算します。

(1) 2x2行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3) - (4 \times 1) = 6 - 4 = 2$

(2) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} -6 & 2 & -1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 6 & 1 & -2 \end{vmatrix}$

サラスの公式を用いると、

$= (-6 \times -3 \times -2) + (2 \times 3 \times 6) + (-1 \times 3 \times 1) - (-1 \times -3 \times 6) - (-6 \times 3 \times 1) - (2 \times 3 \times -2)$

$= -36 + 36 - 3 - 18 + 18 + 12 = -36+36-3-18+18+12 = 9$

(3) 4x4行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 9 & 3 & -2 & 2 \\ 6 & 2 & 0 & 2 \\ 12 & 8 & -4 & 5 \\ 6 & 2 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

3行目は1行目の2倍であるため、1行目と3行目は線形従属であり、この行列の行列式は0となる。

(4) 5x5行列の行列式:

$\begin{vmatrix} -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 0 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 5 & 3 \end{vmatrix}$

この行列は下三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できる。

$= (-6) \times 2 \times 7 \times \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}$

$= -6 \times 2 \times 7 \times (6 \times 3 - 2 \times 5)$

$= -6 \times 2 \times 7 \times (18 - 10)$

$= -6 \times 2 \times 7 \times 8 = -672$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 9

(3) 0

(4) -672