2直線 $x + 5y - 7 = 0$ と $2x - y - 4 = 0$ の交点を通る直線の方程式を、次の2つの条件で求める。 (1) 点 $(-3, 5)$ を通る。 (2) 直線 $x + 4y - 6 = 0$ に平行、または垂直。

1. 問題の内容

2直線 $x + 5y - 7 = 0$ と $2x - y - 4 = 0$ の交点を通る直線の方程式を、次の2つの条件で求める。

(1) 点 $(-3, 5)$ を通る。

(2) 直線 $x + 4y - 6 = 0$ に平行、または垂直。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を通る直線の方程式を求める。

一般に、2直線 $l_1: ax + by + c = 0$ と $l_2: dx + ey + f = 0$ の交点を通る直線は、実数 $k$ を用いて、

$ax + by + c + k(dx + ey + f) = 0$

と表せる。

この問題の場合、$x + 5y - 7 + k(2x - y - 4) = 0$ となる。

整理すると、

$(1 + 2k)x + (5 - k)y - (7 + 4k) = 0$

となる。

(1) この直線が点 $(-3, 5)$ を通るので、代入して $k$ を求める。

$(1 + 2k)(-3) + (5 - k)(5) - (7 + 4k) = 0$

$-3 - 6k + 25 - 5k - 7 - 4k = 0$

$-15k + 15 = 0$

$k = 1$

これを代入して、

$(1 + 2)x + (5 - 1)y - (7 + 4) = 0$

$3x + 4y - 11 = 0$

(2)

(ア) 平行な直線

直線 $x + 4y - 6 = 0$ に平行な直線の傾きは $-\frac{1}{4}$ である。

$(1 + 2k)x + (5 - k)y - (7 + 4k) = 0$ を変形して、

$(5 - k)y = -(1 + 2k)x + (7 + 4k)$

$y = -\frac{1 + 2k}{5 - k}x + \frac{7 + 4k}{5 - k}$

$-\frac{1 + 2k}{5 - k} = -\frac{1}{4}$

$4 + 8k = 5 - k$

$9k = 1$

$k = \frac{1}{9}$

代入して、

$(1 + \frac{2}{9})x + (5 - \frac{1}{9})y - (7 + \frac{4}{9}) = 0$

$(\frac{11}{9})x + (\frac{44}{9})y - (\frac{67}{9}) = 0$

$11x + 44y - 67 = 0$

(イ) 垂直な直線

直線 $x + 4y - 6 = 0$ に垂直な直線の傾きは $4$ である。

$-\frac{1 + 2k}{5 - k} = 4$

$-1 - 2k = 20 - 4k$

$2k = 21$

$k = \frac{21}{2}$

代入して、

$(1 + 21)x + (5 - \frac{21}{2})y - (7 + 42) = 0$

$22x - \frac{11}{2}y - 49 = 0$

$44x - 11y - 98 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x + 4y - 11 = 0$

(2) (ア) $11x + 44y - 67 = 0$

(イ) $44x - 11y - 98 = 0$