問題12では、$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ と $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ が与えられたとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3y + xy^3$ 問題13では、$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とするとき、次の値を求めます。 (1) $\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ を有理化する。 (2) $a$ の値を求める。 (3) $b$ の値を求める。 (4) $a + 6b + b^2 + 9$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題12では、$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ と $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ が与えられたとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

問題13では、$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とするとき、次の値を求めます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ を有理化する。

(2) $a$ の値を求める。

(3) $b$ の値を求める。

(4) $a + 6b + b^2 + 9$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題12

(1) $x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

(2) $xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(3) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{7})^2 - 2(1) = 7-2 = 5$

(4) $x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2) = 1 \times 5 = 5$

問題13

(1) $\frac{1}{\sqrt{10}-3} = \frac{1}{\sqrt{10}-3} \times \frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{10}+3} = \frac{\sqrt{10}+3}{10-9} = \sqrt{10}+3$

(2) $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ より $3 < \sqrt{10} < 4$ なので、

$3+3 < \sqrt{10}+3 < 4+3$

$6 < \sqrt{10}+3 < 7$

$\frac{1}{\sqrt{10}-3} = \sqrt{10}+3$ の整数の部分は $a=6$

(3) $\frac{1}{\sqrt{10}-3} = a + b$ より

$b = (\sqrt{10}+3) - a = \sqrt{10}+3 - 6 = \sqrt{10}-3$

(4) $a+6b+b^2+9 = 6 + 6(\sqrt{10}-3) + (\sqrt{10}-3)^2 + 9 = 6 + 6\sqrt{10}-18 + 10 - 6\sqrt{10} + 9 + 9 = 6 - 18 + 10 + 9 + 9 = 16$

3. 最終的な答え

問題12

(1) $\sqrt{7}$

(2) $1$

(3) $5$

(4) $5$

問題13

(1) $\sqrt{10}+3$

(2) $6$

(3) $\sqrt{10}-3$

(4) $16$