数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 3, a_4 = 9, a_{n+1} = a_n + p$ で定義される。数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 4, b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ で定義される。ただし、$q$ は正の定数である。 (1) $p$ の値を求め、 $a_n$ を $n$ を用いて表す。 (2) $b_n$ を $n, q$ を用いて表し、 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$ を求める。 (3) $\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$ となるような $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 3, a_4 = 9, a_{n+1} = a_n + p$ で定義される。数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 4, b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ で定義される。ただし、$q$ は正の定数である。

(1) $p$ の値を求め、 $a_n$ を $n$ を用いて表す。

(2) $b_n$ を $n, q$ を用いて表し、 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$ を求める。

(3) $\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$ となるような $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + p$ より、数列 $\{a_n\}$ は公差 $p$ の等差数列である。

$a_4 = a_1 + 3p = 3 + 3p = 9$ より、 $3p = 6$ なので $p = 2$ である。

$a_n = a_1 + (n-1)p = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$.

したがって、$a_n = 2n + 1$ である。

(2)

$b_{n+1} = b_n + 4a_n + q = b_n + 4(2n + 1) + q = b_n + 8n + 4 + q$.

$b_{n+1} - b_n = 8n + 4 + q$

$\sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \sum_{k=1}^{n-1} (8k + 4 + q)$

$b_n - b_1 = 8\sum_{k=1}^{n-1} k + (4+q)\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$b_n - 4 = 8\frac{(n-1)n}{2} + (4+q)(n-1)$

$b_n = 4n(n-1) + (4+q)(n-1) + 4 = 4n^2 - 4n + 4n + qn - 4 - q + 4 = 4n^2 + qn - q$

$b_n = 4n^2 + qn - q$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + qn - q}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (4 + \frac{q}{n} - \frac{q}{n^2}) = 4$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = 4$.

(3)

$a_n - \sqrt{b_n} = 2n + 1 - \sqrt{4n^2 + qn - q} = 2n + 1 - 2n\sqrt{1 + \frac{q}{4n} - \frac{q}{4n^2}}$

$\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{2}x$ より

$a_n - \sqrt{b_n} \approx 2n + 1 - 2n(1 + \frac{1}{2}(\frac{q}{4n} - \frac{q}{4n^2})) = 2n + 1 - 2n - \frac{q}{4} + \frac{q}{4n} = 1 - \frac{q}{4} + \frac{q}{4n}$

$\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = 1 - \frac{q}{4}$

$1 - \frac{q}{4} = \frac{1}{2}$ より、 $\frac{q}{4} = \frac{1}{2}$ なので $q = 2$.

3. 最終的な答え

(1) $p = 2, a_n = 2n + 1$

(2) $b_n = 4n^2 + qn - q, \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = 4$

(3) $q = 2$