2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

解を $\alpha$, $\beta$ とし、判別式を $D$ とする。

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は $D > 0$ である。

2つの解が負である条件は、解と係数の関係より $\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である。

したがって、$D > 0$, $\alpha + \beta < 0$, $\alpha \beta > 0$ が同時に成り立つ必要がある。

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D/4 = (-m)^2 - (m+6) = m^2 - m - 6 = (m-3)(m+2)$

$D > 0$ より、 $(m-3)(m+2) > 0$

この不等式を解くと、$m < -2$ または $3 < m$ ...(1)

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2m$

$\alpha + \beta < 0$ より、$2m < 0$

したがって、$m < 0$ ...(2)

解と係数の関係より、$\alpha \beta = m + 6$

$\alpha \beta > 0$ より、$m + 6 > 0$

したがって、$m > -6$ ...(3)

(1), (2), (3) の共通範囲を求める。

(1)より、$m < -2$ または $3 < m$

(2)より、$m < 0$

(3)より、$m > -6$

数直線を書いて共通範囲を考えると、$-6 < m < -2$

3. 最終的な答え

$-6 < m < -2$