与えられた連立一次方程式(4) $3x - 7y + 5z = 0$ $x + y - z = 6$ $2x + 3y - 4z = 9$ を解け。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式(4)

$3x - 7y + 5z = 0$

$x + y - z = 6$

$2x + 3y - 4z = 9$

を解け。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、行基本変形を用いて解く。

まず、拡大係数行列を作る。

$\begin{pmatrix}

3 & -7 & 5 & 0 \\

1 & 1 & -1 & 6 \\

2 & 3 & -4 & 9

\end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 6 \\

3 & -7 & 5 & 0 \\

2 & 3 & -4 & 9

\end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引く (R2 -> R2 - 3R1)。

3行目から1行目の2倍を引く (R3 -> R3 - 2R1)。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 6 \\

0 & -10 & 8 & -18 \\

0 & 1 & -2 & -3

\end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 6 \\

0 & 1 & -2 & -3 \\

0 & -10 & 8 & -18

\end{pmatrix}$

3行目に2行目の10倍を加える (R3 -> R3 + 10R2)。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 6 \\

0 & 1 & -2 & -3 \\

0 & 0 & -12 & -48

\end{pmatrix}$

3行目を-12で割る (R3 -> R3 / -12)。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 6 \\

0 & 1 & -2 & -3 \\

0 & 0 & 1 & 4

\end{pmatrix}$

2行目に3行目の2倍を加える (R2 -> R2 + 2R3)。

1行目に3行目を加える (R1 -> R1 + R3)。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 10 \\

0 & 1 & 0 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 4

\end{pmatrix}$

1行目から2行目を引く (R1 -> R1 - R2)。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 1 & 0 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 4

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = 5$

$y = 5$

$z = 4$