与えられた対数計算の問題を解きます。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\log_8 2 + \log_8 32$ (2) $\log_3 45 - \log_3 5$ (3) $\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2$ (4) $4\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

与えられた対数計算の問題を解きます。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $\log_8 2 + \log_8 32$

(2) $\log_3 45 - \log_3 5$

(3) $\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2$

(4) $4\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_8 2 + \log_8 32$

対数の和の性質より、$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用います。

$\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \cdot 32) = \log_8 64$

$64 = 8^2$ であるから、$\log_8 64 = \log_8 8^2 = 2$

よって、$\log_8 2 + \log_8 32 = 2$

(2) $\log_3 45 - \log_3 5$

対数の差の性質より、$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を用います。

$\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 (\frac{45}{5}) = \log_3 9$

$9 = 3^2$ であるから、$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

よって、$\log_3 45 - \log_3 5 = 2$

(3) $\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ と $c \log_a x = \log_a x^c$ を用います。

$\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2 = \log_3 54 + \log_3 6 - \log_3 2^2 = \log_3 54 + \log_3 6 - \log_3 4$

$\log_3 54 + \log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 (54 \cdot 6) - \log_3 4 = \log_3 324 - \log_3 4 = \log_3 (\frac{324}{4}) = \log_3 81$

$81 = 3^4$ であるから、$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

よって、$\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2 = 4$

(4) $4\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

対数の性質 $c \log_a x = \log_a x^c$ を用います。

$4\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 (\sqrt{2})^4 - \log_2 3^{\frac{1}{2}} + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 4 - \log_2 \sqrt{3} + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

対数の和と差の性質より、

$\log_2 4 - \log_2 \sqrt{3} + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 4 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \log_2 \sqrt{3} = \log_2 (4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \log_2 \sqrt{3} = \log_2 (2\sqrt{3}) - \log_2 \sqrt{3} = \log_2 \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \log_2 2 = 1$

よって、$4\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) 4

(4) 1