直線 $y = 2x + k$ が放物線 $x^2 = -y$ の接線となるように、定数 $k$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + k$ が放物線 $x^2 = -y$ の接線となるように、定数 $k$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

放物線の式を $y = -x^2$ と変形します。

直線 $y = 2x + k$ と放物線 $y = -x^2$ の交点を求めるために、2つの式を連立させます。

$-x^2 = 2x + k$

$x^2 + 2x + k = 0$

直線と放物線が接するためには、この2次方程式が重解を持つ必要があります。つまり、判別式が0になる必要があります。

判別式 $D$ は

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 4 - 4k$

$D = 0$ となる $k$ の値を求めます。

$4 - 4k = 0$

$4k = 4$

$k = 1$

3. 最終的な答え

$k = 1$