数学的帰納法を用いて、次の2つの等式を証明する。 (1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ (2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の2つの等式を証明する。

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

2. 解き方の手順

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ の証明

ステップ1：n = 1 のとき、等式が成立することを示す。

左辺 = $2(1) - 1 = 1$

右辺 = $1^2 = 1$

よって、n = 1 のとき、等式は成立する。

ステップ2：n = k のとき、等式が成立すると仮定する。つまり、$1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2$ が成立すると仮定する。

ステップ3：n = k+1 のとき、等式が成立することを示す。つまり、$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$ が成立することを示す。

$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1)-1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) + (2(k+1)-1)$

仮定より、$1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2$ なので、

$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1)-1) = k^2 + (2(k+1)-1) = k^2 + 2k + 2 - 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$

よって、n = k+1 のときも等式は成立する。

ステップ4：数学的帰納法の原理より、すべての自然数nに対して、等式 $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ が成立する。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ の証明

ステップ1：n = 1 のとき、等式が成立することを示す。

左辺 = $1 \cdot 2 = 2$

右辺 = $\frac{1}{3}(1)(1+1)(1+2) = \frac{1}{3}(1)(2)(3) = 2$

よって、n = 1 のとき、等式は成立する。

ステップ2：n = k のとき、等式が成立すると仮定する。つまり、$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ が成立すると仮定する。

ステップ3：n = k+1 のとき、等式が成立することを示す。つまり、$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$ が成立することを示す。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k+1)(k+2) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2)$

仮定より、$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ なので、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$

$= \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + \frac{3}{3}(k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)[k + 3] = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

よって、n = k+1 のときも等式は成立する。

ステップ4：数学的帰納法の原理より、すべての自然数nに対して、等式 $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) すべての自然数nに対して、$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ が成立する。

(2) すべての自然数nに対して、$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ が成立する。