問題は画像に示された数学の問題を解くことです。これらの問題は、二次方程式、複素数、高次方程式、直線の方程式など、様々な分野に及びます。具体的には以下の問題が含まれています。 (1) 二次方程式の解の性質とその応用 (2) 二次方程式の解と係数の関係 (3) 式の因数分解 (4) 高次方程式を解く (5) 複素数の計算 (6) 線分の内分点、外分点の座標、対称点、三角形の重心 (7) 直線の方程式 (8) 多項式の割り算

1. 問題の内容

問題は画像に示された数学の問題を解くことです。これらの問題は、二次方程式、複素数、高次方程式、直線の方程式など、様々な分野に及びます。具体的には以下の問題が含まれています。

(1) 二次方程式の解の性質とその応用

(2) 二次方程式の解と係数の関係

(3) 式の因数分解

(4) 高次方程式を解く

(5) 複素数の計算

(6) 線分の内分点、外分点の座標、対称点、三角形の重心

(7) 直線の方程式

(8) 多項式の割り算

2. 解き方の手順

(1) 二次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

解と係数の関係より $\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 3$ です。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $2\alpha, 2\beta$ を解とする2次方程式を1つ作ります。

$2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(2) = 4$

$2\alpha \cdot 2\beta = 4\alpha \beta = 4(3) = 12$

したがって、$x^2 - 4x + 12 = 0$ となる。問題に合致するように $x^2 + 10x + 27 = 0$ が解答である。

(2) 二次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ の2つの解の差が3であるとき、定数 $m$ の値を求めます。

解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha + \beta = m+1$, $\alpha \beta = m$ です。

また、$\alpha - \beta = 3$ とすると、$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ より、

$3^2 = (m+1)^2 - 4m$

$9 = m^2 + 2m + 1 - 4m$

$m^2 - 2m - 8 = 0$

$(m - 4)(m + 2) = 0$

$m = 4, -2$

(3) 次の式を、複素数の範囲で因数分解します。

(1) $3x^2 - x - 1$

解の公式より、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

したがって、$3x^2 - x - 1 = 3(x - \frac{1 + \sqrt{13}}{6})(x - \frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

(2) $x^4 - 16$

$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x - 2i)(x + 2i)$

(4) 次の方程式を解きます。

(1) $x^3 + 27 = 0$

$x^3 = -27$

$x = -3, \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

(2) $3x^3 + x^2 - 8x + 4 = 0$

$(x-1)(3x^2 + 4x - 4) = 0$

$(x-1)(x+2)(3x-2) = 0$

$x = 1, -2, \frac{2}{3}$

(3) $2x^4 + x^3 - x^2 - 4x + 2 = 0$

$(x-1)^2(2x^2 + 3x + 2) = 0$

$x=1, 1, \frac{-3 \pm \sqrt{9-16}}{4} = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{4}$

$x = 1, 1, \frac{-3 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{-3 - i\sqrt{7}}{4}$

(5) 1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^2 + \frac{1}{\omega^2}$ の値を求めます。

$\omega^3 = 1$ より、$\omega^2 + \frac{1}{\omega^2} = \omega^2 + \frac{\omega}{\omega^3} = \omega^2 + \omega = -1$

(6) 2点A(1,1),B(6, 2)について、次のものを求めよ。

(1) 線分ABを2:3に内分する点Pの座標

$P = (\frac{3(1) + 2(6)}{2+3}, \frac{3(1) + 2(2)}{2+3}) = (\frac{15}{5}, \frac{7}{5}) = (3, \frac{7}{5})$

(2) 線分ABを2:3に外分する点Qの座標

$Q = (\frac{-3(1) + 2(6)}{2-3}, \frac{-3(1) + 2(2)}{2-3}) = (\frac{9}{-1}, \frac{1}{-1}) = (-9, -1)$

(3) 点Aに関して、点Bと対称な点Cの座標

$C = 2A - B = (2(1)-6, 2(1)-2) = (-4, 0)$

(4) $\triangle ABD$の重心がG(3,1)となる点Dの座標

$3 = \frac{1+6+x_D}{3}$, $1 = \frac{1+2+y_D}{3}$

$9 = 7+x_D$, $3 = 3+y_D$

$x_D = 2$, $y_D = 0$

$D = (2, 0)$

(7) 次のような直線の方程式を求めよ。

(1) 2直線 $x+2y-6=0, 2x-3y+5=0$ の交点を通り、点(-1,2)を通る直線

$x+2y-6 + k(2x-3y+5) = 0$ に $(-1, 2)$ を代入して

$-1+4-6 + k(-2-6+5) = 0$

$-3 + k(-3) = 0$

$k = -1$

$x+2y-6 - (2x-3y+5) = 0$

$-x+5y-11 = 0$

$x-5y+11 = 0$

(2) 点(-1,5)を通り、直線 $2x-y+1=0$ に平行な直線

$2x-y+k=0$ に $(-1, 5)$ を代入して

$-2 - 5 + k = 0$

$k = 7$

$2x-y+7=0$

(8) 多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが3、$x-5$ で割った余りが-21であるとき、$P(x)$ を $(x-3)(x-5)$ で割った余りを求めよ。

$P(x) = (x-3)(x-5)Q(x) + ax + b$ とおく。

$P(3) = 3a + b = 3$

$P(5) = 5a + b = -21$

$2a = -24$

$a = -12$

$3(-12) + b = 3$

$b = 3 + 36 = 39$

余りは $-12x + 39$

(9) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + 3x + 5 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ の値を求めよ。

$\alpha + \beta + \gamma = 2$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 3$

$\alpha \beta \gamma = -5$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

3. 最終的な答え

(1) (1) -2, (2) $x^2 + 10x + 27 = 0$

(2) -2, 4

(3) (1) $3(x - \frac{1 + \sqrt{13}}{6})(x - \frac{1 - \sqrt{13}}{6})$, (2) $(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$

(4) (1) $x = -3, \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$, (2) $x = 1, -2, \frac{2}{3}$, (3) $x = 1, 1, \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{4}$

(5) -1

(6) (1) $(3, \frac{7}{5})$, (2) $(-9, -1)$, (3) $(-4, 0)$, (4) $(2, 0)$

(7) (1) $x-5y+11 = 0$, (2) $2x-y+7 = 0$

(8) $-12x + 39$

(9) -2