2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ の2つの解の差が3であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ の2つの解の差が3であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の解を $\alpha$ と $\beta$ とする。解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$\alpha + \beta = m + 1$

$\alpha \beta = m$

また、問題文より $|\alpha - \beta| = 3$ である。両辺を2乗すると、

$(\alpha - \beta)^2 = 9$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ であるから、

$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 9$

解と係数の関係を代入すると、

$(m+1)^2 - 4m = 9$

$m^2 + 2m + 1 - 4m = 9$

$m^2 - 2m - 8 = 0$

$(m - 4)(m + 2) = 0$

したがって、$m = 4$ または $m = -2$

3. 最終的な答え

$m = -2, 4$