与えられた対数の値を計算し、簡単にします。問題は以下の４つです。 (1) $\log_3 81$ (2) $\log_4 1$ (3) $\log_3 \sqrt{3}$ (4) $2\log_5 \sqrt{5}$

1. 問題の内容

与えられた対数の値を計算し、簡単にします。問題は以下の４つです。

(1) $\log_3 81$

(2) $\log_4 1$

(3) $\log_3 \sqrt{3}$

(4) $2\log_5 \sqrt{5}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 81$

81を3の累乗で表します。$81 = 3^4$ なので、

$\log_3 81 = \log_3 3^4$

対数の性質 $\log_a a^x = x$ を用いると、

$\log_3 3^4 = 4$

(2) $\log_4 1$

対数の性質 $\log_a 1 = 0$ を用いると、

$\log_4 1 = 0$

(3) $\log_3 \sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ を3の累乗で表します。$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{1}{2}}$

対数の性質 $\log_a a^x = x$ を用いると、

$\log_3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

(4) $2\log_5 \sqrt{5}$

$\sqrt{5}$ を5の累乗で表します。$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ なので、

$2\log_5 \sqrt{5} = 2\log_5 5^{\frac{1}{2}}$

対数の性質 $b\log_a x = \log_a x^b$ を用いると、

$2\log_5 5^{\frac{1}{2}} = \log_5 (5^{\frac{1}{2}})^2$

$\log_5 (5^{\frac{1}{2}})^2 = \log_5 5^1$

対数の性質 $\log_a a^x = x$ を用いると、

$\log_5 5^1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\log_3 81 = 4$

(2) $\log_4 1 = 0$

(3) $\log_3 \sqrt{3} = \frac{1}{2}$

(4) $2\log_5 \sqrt{5} = 1$