以下の4つの行列の逆行列を求める問題です。 (1) $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ (ただし、$a, b \neq 0$) (2) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

以下の4つの行列の逆行列を求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ (ただし、$a, b \neq 0$)

(2) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の逆行列の公式を使います。行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、$\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ です。

行列式は、$ab - 0 = ab$

よって、逆行列は $\frac{1}{ab}\begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} \end{pmatrix}$

(2) 2x2行列の逆行列の公式を使います。行列式は、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

よって、逆行列は $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(3) 3x3行列の逆行列を求めるには、掃き出し法または余因子行列を使うことができます。ここでは掃き出し法を使用します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &| 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 &| 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &| 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を2行目に加える

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &| 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &| 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &| 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍する

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &| 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 &| 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &| 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引く

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &| 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 &| 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 3/2 &| -1/2 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を2/3倍する

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &| 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 &| 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &| -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引く

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &| 4/3 & 1/3 & -2/3 \\ 0 & 1 & 1/2 &| 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &| -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を1/2倍して引く

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &| 4/3 & 1/3 & -2/3 \\ 0 & 1 & 0 &| 2/3 & 2/3 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 &| -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$

よって、逆行列は

$\begin{pmatrix} 4/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$

(4)

$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$

この行列はブロック行列と見なすことができます。

$\begin{pmatrix} R & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$

ここで $R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$です。

Rの逆行列は$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$です。

ブロック行列の逆行列は

$\begin{pmatrix} R^{-1} & 0 \\ 0 & 1/b \end{pmatrix}$

よって、求める逆行列は

$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1/b \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 4/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1/b \end{pmatrix}$