点$(-2, 3)$を通り、直線$3x - 5y - 12 = 0$に垂直な直線、平行な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

はい、承知しました。画像にある問題34、35、36を解きます。

**問題34**

1. 問題の内容

点$(-2, 3)$を通り、直線$3x - 5y - 12 = 0$に垂直な直線、平行な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを求めます。

$3x - 5y - 12 = 0$を$y$について解くと、

$5y = 3x - 12$

$y = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5}$

よって、この直線の傾きは$\frac{3}{5}$です。

* 平行な直線の傾きは元の直線と同じなので、$\frac{3}{5}$です。点$(-2, 3)$を通り、傾きが$\frac{3}{5}$の直線の方程式は、

$y - 3 = \frac{3}{5}(x - (-2))$

$y - 3 = \frac{3}{5}(x + 2)$

$5(y - 3) = 3(x + 2)$

$5y - 15 = 3x + 6$

$3x - 5y + 21 = 0$

* 垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、$-\frac{5}{3}$です。点$(-2, 3)$を通り、傾きが$-\frac{5}{3}$の直線の方程式は、

$y - 3 = -\frac{5}{3}(x - (-2))$

$y - 3 = -\frac{5}{3}(x + 2)$

$3(y - 3) = -5(x + 2)$

$3y - 9 = -5x - 10$

$5x + 3y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

平行な直線の方程式: $3x - 5y + 21 = 0$

垂直な直線の方程式: $5x + 3y + 1 = 0$

**問題35(1)**

1. 問題の内容

直線$2x + y - 6 = 0$を$l$とする。直線$l$に関して点$A(4, 3)$と対称な点$B$の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、直線$l$の傾きを求めます。

$2x + y - 6 = 0$より、$y = -2x + 6$なので、傾きは$-2$です。

* 点$B$の座標を$(p, q)$とします。線分$AB$の中点は、直線$l$上にあるので、中点の座標を求めると$(\frac{p+4}{2}, \frac{q+3}{2})$です。

中点が直線$l$上にあることから、

$2(\frac{p+4}{2}) + \frac{q+3}{2} - 6 = 0$

$2(p+4) + (q+3) - 12 = 0$

$2p + 8 + q + 3 - 12 = 0$

$2p + q - 1 = 0$

* 直線$AB$は直線$l$に垂直なので、$AB$の傾きは、直線$l$の傾きの逆数の符号を反転させたもの、つまり$\frac{1}{2}$です。

$AB$の傾きは$\frac{q-3}{p-4}$なので、

$\frac{q-3}{p-4} = \frac{1}{2}$

$2(q-3) = p-4$

$2q - 6 = p - 4$

$p - 2q + 2 = 0$

* 連立方程式を解きます。

$2p + q - 1 = 0$

$p - 2q + 2 = 0$

一つ目の式から、$q = 1 - 2p$

これを二つ目の式に代入すると、

$p - 2(1 - 2p) + 2 = 0$

$p - 2 + 4p + 2 = 0$

$5p = 0$

$p = 0$

$q = 1 - 2(0) = 1$

よって、$B(0, 1)$

3. 最終的な答え

点$B$の座標は$(0, 1)$

**問題36**

1. 問題の内容

2直線$7x + 4y - 2 = 0$と$3x + y - 8 = 0$の交点と、点$(2, 1)$を通る直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、2直線の交点を求めます。

$7x + 4y - 2 = 0$

$3x + y - 8 = 0$

2つ目の式より、$y = -3x + 8$

これを1つ目の式に代入すると、

$7x + 4(-3x + 8) - 2 = 0$

$7x - 12x + 32 - 2 = 0$

$-5x + 30 = 0$

$5x = 30$

$x = 6$

$y = -3(6) + 8 = -18 + 8 = -10$

交点は$(6, -10)$

* 次に、交点$(6, -10)$と点$(2, 1)$を通る直線の方程式を求めます。

傾きは$\frac{1 - (-10)}{2 - 6} = \frac{11}{-4} = -\frac{11}{4}$

点$(2, 1)$を通る直線の方程式は、

$y - 1 = -\frac{11}{4}(x - 2)$

$4(y - 1) = -11(x - 2)$

$4y - 4 = -11x + 22$

$11x + 4y - 26 = 0$

3. 最終的な答え

$11x + 4y - 26 = 0$