右図において、直線 $y = -2x + 14$ を①とする。直線②は点Aでy軸と交わり、そのy座標は4である。また、直線②の傾きは $\frac{1}{2}$ である。Bは直線①とx軸との交点である。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 直線②の式を求めよ。 (2) 点Pの座標を求めよ。ここでPは直線①と直線②の交点である。 (3) 三角形PABの面積を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、直線 $y = -2x + 14$ を①とする。直線②は点Aでy軸と交わり、そのy座標は4である。また、直線②の傾きは $\frac{1}{2}$ である。Bは直線①とx軸との交点である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 直線②の式を求めよ。

(2) 点Pの座標を求めよ。ここでPは直線①と直線②の交点である。

(3) 三角形PABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線②の傾きは $\frac{1}{2}$ であり、y切片は4であるから、直線②の式は $y = \frac{1}{2}x + 4$ である。

(2) 点Pは直線①と直線②の交点であるから、以下の連立方程式を解けばよい。

$y = -2x + 14$

$y = \frac{1}{2}x + 4$

これらを連立して

$-2x + 14 = \frac{1}{2}x + 4$

両辺に2をかけて

$-4x + 28 = x + 8$

$5x = 20$

$x = 4$

$y = -2(4) + 14 = -8 + 14 = 6$

したがって、点Pの座標は(4, 6)である。

(3) 点Aの座標は(0, 4)である。点Bは直線①とx軸との交点であるから、y=0を代入して

$0 = -2x + 14$

$2x = 14$

$x = 7$

したがって、点Bの座標は(7, 0)である。

三角形PABの面積は、点P(4,6), A(0,4), B(7,0)であることから、以下のように求められる。

三角形PABの面積 = $\frac{1}{2} |(4(4-0) + 0(0-6) + 7(6-4))|$

= $\frac{1}{2} |(16 + 0 + 14)|$

= $\frac{1}{2} |30|$

= 15

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + 4$

(2) P(4, 6)

(3) 15