数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 6n^2 + 11n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で与えられているとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a_n$ を $n$ の式で表せ。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 6n^2 + 11n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で与えられているとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a_n$ を $n$ の式で表せ。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = n^3 + 6n^2 + 11n$ より、

$S_{n-1} = (n-1)^3 + 6(n-1)^2 + 11(n-1)$

$= (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 6(n^2 - 2n + 1) + 11(n-1)$

$= n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 6n^2 - 12n + 6 + 11n - 11$

$= n^3 + 3n^2 + 2n - 6$

よって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 6n^2 + 11n) - (n^3 + 3n^2 + 2n - 6)$

$= 3n^2 + 9n + 6 = 3(n^2 + 3n + 2) = 3(n+1)(n+2)$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^3 + 6(1)^2 + 11(1) = 1+6+11=18$

$a_n = 3(n+1)(n+2)$ に $n=1$ を代入すると、$3(1+1)(1+2) = 3(2)(3) = 18$ となり、一致する。

したがって、$a_n = 3(n+1)(n+2)$ ($n \ge 1$)。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。

$\frac{1}{a_k} = \frac{1}{3(k+1)(k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{n+2 - 2}{2(n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{n}{2(n+2)} \right)$

$= \frac{n}{6(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3(n+1)(n+2)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \frac{n}{6(n+2)}$