放物線 $y = 3x^2 + 4x + 1$ を平行移動したもので、頂点が $(-1, 4)$ である 2 次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の定数 $a, b, c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 + 4x + 1$ を平行移動したもので、頂点が $(-1, 4)$ である 2 次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の定数 $a, b, c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線を平方完成します。

$y = 3x^2 + 4x + 1 = 3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 1 = 3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 1 = 3(x + \frac{2}{3})^2 - 3(\frac{4}{9}) + 1 = 3(x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 1 = 3(x + \frac{2}{3})^2 - \frac{1}{3}$

したがって、放物線 $y = 3x^2 + 4x + 1$ の頂点は $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ です。

次に、頂点が $(-1, 4)$ である 2 次関数の式を求めます。

$y = a(x + 1)^2 + 4$ と表せます。

平行移動なので、$x^2$ の係数は変わりません。つまり、$a = 3$ です。

したがって、$y = 3(x + 1)^2 + 4 = 3(x^2 + 2x + 1) + 4 = 3x^2 + 6x + 3 + 4 = 3x^2 + 6x + 7$

したがって、$a = 3, b = 6, c = 7$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 6$

$c = 7$