$\sqrt{n^2 + 60}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 + 60}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 + 60}$ が自然数であるとき、$n^2 + 60$ はある自然数の2乗になります。そこで、$n^2 + 60 = m^2$ ($m$ は自然数) とおきます。

すると、$m^2 - n^2 = 60$ となり、これは $(m + n)(m - n) = 60$ と因数分解できます。

$m$ と $n$ は自然数なので、$m + n$ と $m - n$ も整数です。さらに、$m + n > 0$ であるから、$m - n > 0$ でもあります。また、$m + n > m - n$ であることにも注意します。

$60$ の正の約数の組を考えると、

(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) があります。

それぞれの組について、

$m + n$ と $m - n$ の連立方程式を解きます。

(i) $m + n = 60, m - n = 1$ のとき、

$2m = 61$ となるので、$m = \frac{61}{2}$。$m$ が整数ではないので不適。

(ii) $m + n = 30, m - n = 2$ のとき、

$2m = 32$ となるので、$m = 16$。$n = 14$。

(iii) $m + n = 20, m - n = 3$ のとき、

$2m = 23$ となるので、$m = \frac{23}{2}$。$m$ が整数ではないので不適。

(iv) $m + n = 15, m - n = 4$ のとき、

$2m = 19$ となるので、$m = \frac{19}{2}$。$m$ が整数ではないので不適。

(v) $m + n = 12, m - n = 5$ のとき、

$2m = 17$ となるので、$m = \frac{17}{2}$。$m$ が整数ではないので不適。

(vi) $m + n = 10, m - n = 6$ のとき、

$2m = 16$ となるので、$m = 8$。$n = 2$。

したがって、$n$ は $2$ と $14$ となります。

3. 最終的な答え

$n = 2, 14$