与えられた4x4行列の逆行列を求める問題です。与えられた行列を$A$とすると、 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ この行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の逆行列を求める問題です。与えられた行列を$A$とすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

この行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。与えられた行列$A$に単位行列$I$を並べた拡大行列$(A | I)$を作り、基本変形を繰り返して$(I | A^{-1})$の形に変形します。

$(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 2 & -3 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -1 & 3 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 2行目に1行目の2倍を加える ($R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$)、4行目から1行目の4倍を引く($R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 2 & -3 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & 7 & | & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 3行目に1行目の2倍を加える ($R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & 7 & | & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 2行目と3行目を入れ替える ($R_2 \leftrightarrow R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & 7 & | & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. 4行目に2行目を加える ($R_4 \leftarrow R_4 + R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & | & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

5. 4行目に3行目の3/5倍を加える($R_4 \leftarrow R_4 + (3/5)R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/5 & | & -4/5 & 3/5 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

6. 4行目を5倍する($R_4 \leftarrow 5R_4$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

7. 1行目に4行目を加える($R_1 \leftarrow R_1 + R_4$)、2行目に4行目の5倍を加える($R_2 \leftarrow R_2 + 5R_4$)、3行目に4行目の3倍を加える($R_3 \leftarrow R_3 + 3R_4$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & | & -3 & 3 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & 6 & 0 & | & -18 & 15 & 26 & 25 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & | & -10 & 10 & 15 & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

8. 3行目を5で割る($R_3 \leftarrow (1/5)R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & | & -3 & 3 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & 6 & 0 & | & -18 & 15 & 26 & 25 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

9. 1行目から3行目の2倍を引く($R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3$)、2行目から3行目の6倍を引く($R_2 \leftarrow R_2 - 6R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & | & -6 & 3 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

1

0. 2行目を-1倍する($R_2 \leftarrow -R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 6 & -3 & -8 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

したがって、$A$の逆行列は、

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 6 & -3 & -8 & -7 \\ -2 & 2 & 3 & 3 \\ -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

となります。