方程式 $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

方程式 $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$4^x$ を $(2^2)^x = (2^x)^2$ と変形し、$2^{x+1}$ を $2 \cdot 2^x$ と変形する。すると、方程式は次のようになる。

$$(2^x)^2 - 3 \cdot 2 \cdot 2^x - 16 = 0$$

$$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x - 16 = 0$$

ここで、$2^x = t$ と置換すると、方程式は $t$ の二次方程式になる。

$$t^2 - 6t - 16 = 0$$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$$(t - 8)(t + 2) = 0$$

よって、$t = 8$ または $t = -2$ となる。

$t = 2^x$ なので、$t > 0$ である必要がある。したがって、$t = -2$ は不適である。

$t = 8$ のとき、$2^x = 8$ である。$8 = 2^3$ なので、$2^x = 2^3$ となり、$x = 3$ が得られる。

3. 最終的な答え

$x = 3$