与えられた二次関数 $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1$ を①とする。 (1) ①と直線 $y = ax + 5$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (2) ①とその頂点でのみ交わる直線の式を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = x^2 + 2ax + a^2 + 1$ を①とする。

(1) ①と直線 $y = ax + 5$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(2) ①とその頂点でのみ交わる直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

①と直線 $y = ax + 5$ の交点を求めるため、

$x^2 + 2ax + a^2 + 1 = ax + 5$

$x^2 + ax + a^2 - 4 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = a^2 - 4(a^2 - 4) > 0$

$a^2 - 4a^2 + 16 > 0$

$-3a^2 + 16 > 0$

$3a^2 < 16$

$a^2 < \frac{16}{3}$

$-\frac{4}{\sqrt{3}} < a < \frac{4}{\sqrt{3}}$

$-\frac{4\sqrt{3}}{3} < a < \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2)

①の頂点の座標を求める。

$y = x^2 + 2ax + a^2 + 1 = (x+a)^2 + 1$

頂点の座標は $(-a, 1)$。

頂点でのみ交わる直線を $y = mx + n$ とおく。

この直線が頂点を通ることから $1 = -am + n$, よって $n = am + 1$。

したがって、 $y = mx + am + 1$。

①と直線 $y = mx + am + 1$ の接点を求めるため、

$(x+a)^2 + 1 = mx + am + 1$

$(x+a)^2 = mx + am$

$x^2 + 2ax + a^2 = mx + am$

$x^2 + (2a-m)x + a^2 - am = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = (2a-m)^2 - 4(a^2 - am) = 0$

$4a^2 - 4am + m^2 - 4a^2 + 4am = 0$

$m^2 = 0$

$m = 0$

したがって、求める直線は $y = 0\cdot x + 0 \cdot a + 1$, つまり $y = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{4\sqrt{3}}{3} < a < \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(2) $y = 1$