$a$を定数とする方程式 $x^{\log_{\frac{1}{3}}x} = (\frac{x}{\sqrt[3]{9}})^{-2a}$ が実数解を持ち、さらにそのすべての解が $\sqrt{3}$ より大きくなるような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする方程式 $x^{\log_{\frac{1}{3}}x} = (\frac{x}{\sqrt[3]{9}})^{-2a}$ が実数解を持ち、さらにそのすべての解が $\sqrt{3}$ より大きくなるような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式の対数をとる。底を$\frac{1}{3}$とすると、

$\log_{\frac{1}{3}}x^{\log_{\frac{1}{3}}x} = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{x}{\sqrt[3]{9}})^{-2a}$

$\log_{\frac{1}{3}}x \cdot \log_{\frac{1}{3}}x = -2a \log_{\frac{1}{3}}(\frac{x}{\sqrt[3]{9}})$

ここで、$t = \log_{\frac{1}{3}}x$とおくと、

$t^2 = -2a (\log_{\frac{1}{3}}x - \log_{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{9})$

$t^2 = -2a(t - \log_{\frac{1}{3}}3^{\frac{2}{3}})$

$t^2 = -2a(t - \frac{2}{3}\log_{\frac{1}{3}}3)$

$t^2 = -2a(t - \frac{2}{3}(-1))$

$t^2 = -2a(t + \frac{2}{3})$

$t^2 + 2at + \frac{4}{3}a = 0$

これが式②に対応するので、ア=1, イ=2, ウ=4, エ=3である。

次に、$x > \sqrt{3}$のとき、$t = \log_{\frac{1}{3}}x$の範囲を求める。

$\frac{1}{3} < 1$なので、$x$が増加すると$t$は減少する。

$t = \log_{\frac{1}{3}}\sqrt{3} = \log_{\frac{1}{3}}3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}3 = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2}$

したがって、$x > \sqrt{3}$のとき、$t < -\frac{1}{2}$である。

よって、オは①(<), カキは1, クは2である。

$t^2 + 2at + \frac{4}{3}a = 0$の解を$\alpha, \beta$とする。

この方程式が実数解を持ち、かつ全ての解が$t < -\frac{1}{2}$を満たすためには、

判別式$D \geq 0$でなければならない。

$D = (2a)^2 - 4\cdot1\cdot\frac{4}{3}a = 4a^2 - \frac{16}{3}a = 4a(a-\frac{4}{3})$

$D \geq 0$より、$a \leq 0$または$a \geq \frac{4}{3}$。

また、解と係数の関係より$\alpha+\beta=-2a$, $\alpha\beta=\frac{4}{3}a$である。

$\alpha < -\frac{1}{2}, \beta < -\frac{1}{2}$なので、$\alpha+\beta < -1$かつ$(\alpha+\frac{1}{2})(\beta+\frac{1}{2}) > 0$。

$\alpha+\beta = -2a < -1$より、$a > \frac{1}{2}$。

$(\alpha+\frac{1}{2})(\beta+\frac{1}{2}) = \alpha\beta + \frac{1}{2}(\alpha+\beta) + \frac{1}{4} = \frac{4}{3}a + \frac{1}{2}(-2a) + \frac{1}{4} = \frac{4}{3}a - a + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}a + \frac{1}{4} > 0$

$\frac{1}{3}a > -\frac{1}{4}$より、$a > -\frac{3}{4}$。

$a \leq 0$または$a \geq \frac{4}{3}$と$a > \frac{1}{2}$と$a > -\frac{3}{4}$の共通範囲は、$a \geq \frac{4}{3}$。

よって、ケは②(≧), コは4, サは3である。

3. 最終的な答え

ア=1, イ=2, ウ=4, エ=3

オ=①(<), カキ=1, ク=2

ケ=②(≧), コ=4, サ=3