$x \ge 2$, $y \ge 2$, $xy = 16$ のとき、$(\log_2 x)(\log_2 y)$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \ge 2$, $y \ge 2$, $xy = 16$ のとき、$(\log_2 x)(\log_2 y)$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$xy = 16$ より、$y = \frac{16}{x}$ である。

$x \ge 2$ かつ $y \ge 2$ なので、$x \ge 2$ かつ $\frac{16}{x} \ge 2$。

$\frac{16}{x} \ge 2$ より、$16 \ge 2x$, つまり $x \le 8$。

したがって、$2 \le x \le 8$。

次に、$(\log_2 x)(\log_2 y)$ を $x$ で表す。

$(\log_2 x)(\log_2 y) = (\log_2 x)(\log_2 \frac{16}{x}) = (\log_2 x)(\log_2 16 - \log_2 x) = (\log_2 x)(4 - \log_2 x)$

$t = \log_2 x$ とおくと、$2 \le x \le 8$ より $\log_2 2 \le \log_2 x \le \log_2 8$, つまり $1 \le t \le 3$。

$(\log_2 x)(\log_2 y) = t(4 - t) = -t^2 + 4t = -(t^2 - 4t) = -(t^2 - 4t + 4 - 4) = -(t - 2)^2 + 4$

$1 \le t \le 3$ の範囲で、$-(t - 2)^2 + 4$ の最大値と最小値を求める。

$t = 2$ のとき、最大値 $4$ をとる。このとき、$\log_2 x = 2$ より、$x = 2^2 = 4$ であり、$y = \frac{16}{4} = 4$。

$t = 1$ のとき、$-(1 - 2)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$ をとる。このとき、$\log_2 x = 1$ より、$x = 2^1 = 2$ であり、$y = \frac{16}{2} = 8$。

$t = 3$ のとき、$-(3 - 2)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$ をとる。このとき、$\log_2 x = 3$ より、$x = 2^3 = 8$ であり、$y = \frac{16}{8} = 2$。

したがって、最大値は $4$ で、そのときの $x, y$ の値は $x = 4, y = 4$。

最小値は $3$ で、そのときの $x, y$ の値は $x = 2, y = 8$ または $x = 8, y = 2$。

3. 最終的な答え

最大値: $4$ ($x=4, y=4$)

最小値: $3$ ($x=2, y=8$ または $x=8, y=2$)