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与えられた行列の等式を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。 具体的には、以下の等式を満たす $X$ を求めます。 $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix} $$

代数学行列逆行列行列式連立方程式
2025/7/16
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式を満たす正方行列 XX を求める問題です。
具体的には、以下の等式を満たす XX を求めます。
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
-3 & 3 & 5
\end{pmatrix}
X =
\begin{pmatrix}
8 & 7 & 4 \\
4 & 6 & 3 \\
8 & 7 & 4
\end{pmatrix}

2. 解き方の手順

左側の行列を AA, 右側の行列を BB とおくと、求めるべき行列は AX=BAX = B を満たす XX です。
AA の逆行列 A−1A^{-1} が存在すれば、X=A−1BX = A^{-1}B で求めることができます。
まず、AA の行列式を計算します。
\det(A) = 1(-2 \cdot 5 - 1 \cdot 3) - (-3)(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) + 3(1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3)) \\
= 1(-10 - 3) + 3(5 + 3) + 3(3 - 6) \\
= -13 + 24 - 9 = 2
det⁡(A)=2≠0\det(A) = 2 \neq 0 なので、AA は逆行列を持ちます。
次に、AA の余因子行列 CC を計算します。
C_{11} = -2 \cdot 5 - 1 \cdot 3 = -13 \\
C_{12} = -(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) = -8 \\
C_{13} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3) = -3 \\
C_{21} = -(-3 \cdot 5 - 3 \cdot 3) = 24 \\
C_{22} = 1 \cdot 5 - 3 \cdot (-3) = 14 \\
C_{23} = -(1 \cdot 3 - (-3) \cdot (-3)) = 6 \\
C_{31} = -3 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) = 3 \\
C_{32} = -(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = 2 \\
C_{33} = 1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1 = 1
したがって、余因子行列は
C = \begin{pmatrix}
-13 & -8 & -3 \\
24 & 14 & 6 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
A−1A^{-1} は CC の転置行列を det⁡(A)\det(A) で割ったものです。
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
-13 & 24 & 3 \\
-8 & 14 & 2 \\
-3 & 6 & 1
\end{pmatrix}
最後に、X=A−1BX = A^{-1}B を計算します。
X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
-13 & 24 & 3 \\
-8 & 14 & 2 \\
-3 & 6 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
8 & 7 & 4 \\
4 & 6 & 3 \\
8 & 7 & 4
\end{pmatrix}
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
-104 + 96 + 24 & -91 + 144 + 21 & -52 + 72 + 12 \\
-64 + 56 + 16 & -56 + 84 + 14 & -32 + 42 + 8 \\
-24 + 24 + 8 & -21 + 36 + 7 & -12 + 18 + 4
\end{pmatrix}
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
16 & 74 & 32 \\
8 & 42 & 18 \\
8 & 22 & 10
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
8 & 37 & 16 \\
4 & 21 & 9 \\
4 & 11 & 5
\end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X = \begin{pmatrix}
8 & 37 & 16 \\
4 & 21 & 9 \\
4 & 11 & 5
\end{pmatrix}

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