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与えられた行列方程式 $AX=B$ を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ であり、$B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ です。

代数学線形代数行列逆行列行列方程式
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた行列方程式 AX=BAX=B を満たす正方行列 XX を求める問題です。ここで、A=(1−331−21−335)A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix} であり、B=(874463874)B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix} です。

2. 解き方の手順

行列方程式 AX=BAX = B を解くには、まず行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求めます。もし A−1A^{-1} が存在すれば、X=A−1BX = A^{-1}B によって XX を求めることができます。
まず、AA の行列式を計算します。
det(A)=1(−2⋅5−1⋅3)−(−3)(1⋅5−1⋅(−3))+3(1⋅3−(−2)⋅(−3))det(A) = 1(-2\cdot5 - 1\cdot3) - (-3)(1\cdot5 - 1\cdot(-3)) + 3(1\cdot3 - (-2)\cdot(-3))
=1(−10−3)+3(5+3)+3(3−6)= 1(-10 - 3) + 3(5 + 3) + 3(3 - 6)
=−13+3(8)+3(−3)= -13 + 3(8) + 3(-3)
=−13+24−9= -13 + 24 - 9
=2= 2
行列式が0ではないので、逆行列 A−1A^{-1} が存在します。
次に、AA の余因子行列 CC を計算します。
C11=(−2)(5)−(1)(3)=−10−3=−13C_{11} = (-2)(5) - (1)(3) = -10 - 3 = -13
C12=−((1)(5)−(1)(−3))=−(5+3)=−8C_{12} = -( (1)(5) - (1)(-3) ) = -(5+3) = -8
C13=(1)(3)−(−2)(−3)=3−6=−3C_{13} = (1)(3) - (-2)(-3) = 3-6 = -3
C21=−((−3)(5)−(3)(3))=−(−15−9)=24C_{21} = -( (-3)(5) - (3)(3) ) = -(-15 - 9) = 24
C22=(1)(5)−(3)(−3)=5+9=14C_{22} = (1)(5) - (3)(-3) = 5 + 9 = 14
C23=−((1)(3)−(−3)(−3))=−(3−9)=6C_{23} = -( (1)(3) - (-3)(-3) ) = -(3 - 9) = 6
C31=(−3)(1)−(−2)(3)=−3+6=3C_{31} = (-3)(1) - (-2)(3) = -3 + 6 = 3
C32=−((1)(1)−(1)(3))=−(1−3)=2C_{32} = -( (1)(1) - (1)(3) ) = -(1 - 3) = 2
C33=(1)(−2)−(−3)(1)=−2+3=1C_{33} = (1)(-2) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1
余因子行列 C=(−13−8−324146321)C = \begin{pmatrix} -13 & -8 & -3 \\ 24 & 14 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
転置行列 CT=(−13243−8142−361)C^T = \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}
逆行列 A−1=1det(A)CT=12(−13243−8142−361)A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}
X=A−1B=12(−13243−8142−361)(874463874)X = A^{-1}B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}
=12(−104+96+24−91+144+21−52+72+12−64+56+16−56+84+14−32+42+8−24+24+8−21+36+7−12+18+4)= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -104 + 96 + 24 & -91 + 144 + 21 & -52 + 72 + 12 \\ -64 + 56 + 16 & -56 + 84 + 14 & -32 + 42 + 8 \\ -24 + 24 + 8 & -21 + 36 + 7 & -12 + 18 + 4 \end{pmatrix}
=12(1674328421882210)=(8371642194115)= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 16 & 74 & 32 \\ 8 & 42 & 18 \\ 8 & 22 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X=(8371642194115)X = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}

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