4x4行列の行列式を求めます。 行列は $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} $ です。

はい、承知いたしました。画像にある問題（５）と（６）を解いていきます。

**問題(5)**

1. 問題の内容

4x4行列の行列式を求めます。

行列は

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 1 & 1 & 2 \\

2 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 4 & 1 & -2

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

まず、1列目を使って余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 1 & 1 & 2 \\

2 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 4 & 1 & -2

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{21} + 2 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{41}

$$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子です。したがって、

$$

= 3 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}

$$

それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 1(2-1) - 2(-2-4) + 3(1+4) = 1 + 12 + 15 = 28

$$

$$

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2-2) - 2(-2-8) + 3(1-4) = -4 + 20 - 9 = 7

$$

元の式に戻して計算します。

$$

= -3 \cdot 28 + 2 \cdot 7 = -84 + 14 = -70

$$

3. 最終的な答え

-70

**問題(6)**

1. 問題の内容

4x4行列の行列式を求めます。

行列は

$$

\begin{pmatrix}

3 & 2 & 1 & 2 \\

2 & 3 & 0 & 3 \\

1 & 3 & 0 & 1 \\

-4 & 1 & 2 & 5

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

3列目を使って余因子展開します。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 1 & 2 \\

2 & 3 & 0 & 3 \\

1 & 3 & 0 & 1 \\

-4 & 1 & 2 & 5

\end{vmatrix}

= 1 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{43}

$$

$$

= 1 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}

$$

それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 2(15-1) - 3(5+4) + 3(1+12) = 28 - 27 + 39 = 40

$$

$$

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 3(3-9) - 2(2-3) + 2(6-3) = -18 + 2 + 6 = -10

$$

元の式に戻して計算します。

$$

= 1 \cdot 40 - 2 \cdot (-10) = 40 + 20 = 60

$$

3. 最終的な答え

60