放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を、$x$軸方向に3、$y$軸方向に$p$だけ平行移動した後、直線 $x = 1$ に関して対称移動したら、放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なった。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を、$x$軸方向に3、$y$軸方向に$p$だけ平行移動した後、直線 $x = 1$ に関して対称移動したら、放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なった。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

1. $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動する。

平行移動後の放物線の方程式は、

$y - p = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1$

$y = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1 + p$

$y = a(x^2 - 6x + 9) + b(x - 3) + 1 + p$

$y = ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + 1 + p$

$y = ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + 1 + p)$

2. 平行移動後の放物線を、直線 $x = 1$ に関して対称移動する。

対称移動後の放物線の方程式は、$x$ を $2 - x$ に置き換えることで得られる。

$y = a(2 - x)^2 + (-6a + b)(2 - x) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = a(4 - 4x + x^2) + (-6a + b)(2 - x) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = 4a - 4ax + ax^2 - 12a + 6ax + 2b - bx + 9a - 3b + 1 + p$

$y = ax^2 + (2a - b)x + (a - b + 1 + p)$

3. 対称移動後の放物線が $y = 2x^2 - 4$ と一致するので、係数を比較する。

$a = 2$

$2a - b = 0$

$a - b + 1 + p = -4$

4. $a = 2$ より、$2(2) - b = 0$ なので、$b = 4$

$a - b + 1 + p = -4$ に $a = 2$ と $b = 4$ を代入すると、

$2 - 4 + 1 + p = -4$

$-1 + p = -4$

$p = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 4$, $p = -3$