(1) 2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2$ の値を求めよ。 (2) 2次方程式 $3x^2 - 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。 (3) $3 + \sqrt{5}i, 3 - \sqrt{5}i$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。 (4) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ を因数分解せよ。 (5) 多項式 $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると $2x + 5$ 余る。このとき、$P(x)$ を $x+5$ で割った余りを求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2$ の値を求めよ。

(2) 2次方程式 $3x^2 - 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

(3) $3 + \sqrt{5}i, 3 - \sqrt{5}i$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

(4) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ を因数分解せよ。

(5) 多項式 $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると $2x + 5$ 余る。このとき、$P(x)$ を $x+5$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2$ を変形する。

$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 + \alpha\beta$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha\beta = 3$

よって、

$\alpha^2 + 3\alpha\beta + \beta^2 = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$ を変形する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -(-3)/3 = 1$

$\alpha\beta = 2/3$

よって、

$\alpha^2 + \beta^2 = (1)^2 - 2(2/3) = 1 - 4/3 = -1/3$

(3) 2つの解が $3 + \sqrt{5}i, 3 - \sqrt{5}i$ であることから、求める2次方程式は

$(x - (3 + \sqrt{5}i))(x - (3 - \sqrt{5}i)) = 0$

展開すると、

$x^2 - (3 + \sqrt{5}i + 3 - \sqrt{5}i)x + (3 + \sqrt{5}i)(3 - \sqrt{5}i) = 0$

$x^2 - 6x + (9 + 5) = 0$

$x^2 - 6x + 14 = 0$

(4) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ を因数分解する。

$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ とおく。

$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ なので、$x-1$ を因数に持つ。

筆算もしくは組み立て除法で割ると、

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x^2 - x - 6) = (x-1)(x-3)(x+2)$

(5) $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると $2x + 5$ 余るので、

$P(x) = (x^2 + 3x - 10)Q(x) + 2x + 5$

と表せる。ここで、 $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$ であるから、

$P(x) = (x+5)(x-2)Q(x) + 2x + 5$

$P(x)$ を $x+5$ で割った余りを $R$ とすると、剰余の定理より $P(-5) = R$ である。

$P(-5) = (-5+5)(-5-2)Q(-5) + 2(-5) + 5 = 0 + (-10) + 5 = -5$

よって、$R = -5$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) -1/3

(3) $x^2 - 6x + 14 = 0$ （もしくは $x^2 - 6x + 14$）

(4) $(x-1)(x-3)(x+2)$

(5) -5