問題は、次の式を因数分解することです。 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

1. 問題の内容

問題は、次の式を因数分解することです。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3$ の部分を因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

この結果を元の式に代入すると、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b)(a^2 - ab + b^2) + c^3 - 3abc$

$= (a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3 - 3abc$

ここで、$X = a + b$ と置くと、

$X^3 + c^3 - 3abX - 3abc = (X + c)(X^2 - Xc + c^2) - 3ab(X + c)$

$= (X + c)(X^2 - Xc + c^2 - 3ab)$

$X$ を $a + b$ に戻すと、

$(a + b + c)((a + b)^2 - (a + b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a + b + c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

3. 最終的な答え

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$